Aiuto dimostrazioni vettoriali
Ciao, non so come svolgere questo esercizio
a)Siano $ v1, v2, v3 $ vettori in uno spazio vettoriale V su un campo k. Si trovi
(se possibile) un vettore $v ∈ span{v1, v2} $ tale che v non ∈ span{v1, v2, v3} . Si
motivi chiaramente la risposta: non e’ sufficiente citare un risultato, ma e’
necessario dimostrare a partire dalle definizioni.
Se provo mettendo qualche vettore numerico vedo subito che non è possibile trovare un vettore che non appartenga a $ v1, v2, v3 $ . Ma non essendo molto ferrato nelle dimostrazioni (anche se dopodomani purtroppo ho l esame) non so bene come procedere.
Ponendo $ v1 (v1, v2,...., vn) e v2 (v11, v12, v1n) e v3 (v21, v22, v33) $ un vettore appartiene allo span dei primi 2 se è linearmente dipendente da essi. Si nota quindi che è possibile trovare un vettore l.d. da primi 2, per esempio mettondo un vettore multiplo del secondo, ma se faccio ciò rimane l.d. anche da $ v1, v2, v3 $. Questa può andare bene come dimostrazione??
B)Siano U e W sottospazi vettoriali di V e sia $ T = {3u+2w | u ∈ U, w ∈ W} $ .
T e’ un sottospazio vettoriale di V ? In caso affermativo, cosa possiamo dire
della sua dimensione?
0 appartiene a T OK
u+w= (u1,..., un) + (w1,..., wn) = 3 (u1,....,un) + 2 (w1,...., wn) OK
c (3 (u1,..., un)) = 3 c (u1,..., un) OK
sottospazio vettoriale. Qua arriva il problema! La sua dimensione quale sarebbe? Possiamo definirla con solo questi dati? Sarebbe 1???
Grazie in anticipo!
a)Siano $ v1, v2, v3 $ vettori in uno spazio vettoriale V su un campo k. Si trovi
(se possibile) un vettore $v ∈ span{v1, v2} $ tale che v non ∈ span{v1, v2, v3} . Si
motivi chiaramente la risposta: non e’ sufficiente citare un risultato, ma e’
necessario dimostrare a partire dalle definizioni.
Se provo mettendo qualche vettore numerico vedo subito che non è possibile trovare un vettore che non appartenga a $ v1, v2, v3 $ . Ma non essendo molto ferrato nelle dimostrazioni (anche se dopodomani purtroppo ho l esame) non so bene come procedere.
Ponendo $ v1 (v1, v2,...., vn) e v2 (v11, v12, v1n) e v3 (v21, v22, v33) $ un vettore appartiene allo span dei primi 2 se è linearmente dipendente da essi. Si nota quindi che è possibile trovare un vettore l.d. da primi 2, per esempio mettondo un vettore multiplo del secondo, ma se faccio ciò rimane l.d. anche da $ v1, v2, v3 $. Questa può andare bene come dimostrazione??
B)Siano U e W sottospazi vettoriali di V e sia $ T = {3u+2w | u ∈ U, w ∈ W} $ .
T e’ un sottospazio vettoriale di V ? In caso affermativo, cosa possiamo dire
della sua dimensione?
0 appartiene a T OK
u+w= (u1,..., un) + (w1,..., wn) = 3 (u1,....,un) + 2 (w1,...., wn) OK
c (3 (u1,..., un)) = 3 c (u1,..., un) OK
sottospazio vettoriale. Qua arriva il problema! La sua dimensione quale sarebbe? Possiamo definirla con solo questi dati? Sarebbe 1???
Grazie in anticipo!
Risposte
Grazie per l' aiuto Sergio! Quindi l esercizio b) è finito spiegando che la dimensione si trova con quella formula (che se non sbaglio è grassmann).
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