Calcolo immagine di un'applicazione lineare

[TEX1]

Ciao a tutti
Come da titolo... Come posso calcolare l'immagine di un'applicazione lineare?
Tuttavia la mia necessità è di non utilizzare il teorema della dimensione, per non dover trovare prima il nucleo di f
Grazie

[Black Magic]

Non ho ben capito cosa vuoi sapere...

Sia $ \Psi : E \rightarrow F$ un'applicazione lineare,

$$\Psi(x) = \Psi(\sum_{i} x_{i}e_{i}) = \sum_{i} x_{i}\Psi(e_{i}) $$

Ma $\Psi(e_{i}) = \sum_{j} y_{j}f_{j}$.

Con ovvio significato di $e_i$ e $f_j$.

Dunque:

$$\Psi(x) = \sum_{i} \sum_{j} x_{i}y_{j} f_{j}$$

Ponendo $a_{ij}=x_{i}y_{j}$ noterai che assomiglia molto a qualcosa che conosciamo bene.

[TEX1]

Premetto che la mia necessità riguarda in particolare lo svolgimento di esercizi.
detto questo... Sia $f:VtoV'$ un'applicazione lineare.
Dal teorema della dimensione sappiamo che $dimV'=dimKerf+dimImf$ e quindi che $dimImf=dimV'-dimKerf$
Quindi per trovare una base di $Imf$ calcolo il nucleo di $f$ e trovo $dimKerf$. Ora conosco $dimImf$
A questo punto posso prendere $n=dimImf$ vettori dalla matrice associata ad $f$ rispetto, ad esempio, la base canonica di $RR^3$ nel caso in cui sia $f:RR^3toRR^3$.
Esatto?

Ora la mia domanda è: non c'è un altro modo per calcolare $Imf$ senza utilizzare il teorema della dimensione e quidni senza dover prima calcolare $kerf$?