Funzione suriettiva commutativa e associativa
Salve, avrei bisogno di aiuto per risolvere questo esercizio 
Sia data la funzione q:
R x R ----> R
(x,y) ----> 1 + x^3 + y^4
Rispondere alle seguenti domande motivando la risposta:
1) Vista come un'applicazione, la funzione è suriettiva?
2) Vista come operazione binaria, la funzione è commutativa?
3) Vista come operazione binaria, la funzione è associativa?
1) Non so come farlo. Il professore lo ha svolto così ma non ho capito molto bene, o meglio in questo caso più o meno si capisce, ma se provo ad applicare questo ragionamento ad altri esercizi non riesco a risolverli.
dato r appartenente a R
scegliamo opportunamente Y=0
r = q (x,0) = 1 - x^3
r - 1 = x^3
x = $root(3)(r - 1)$ se r-1 > 0
- $root(3)(|r - 1|)$ se r-1 < 0
La funzione è suriettiva.
2) Qui ho usato la regola x q y = y q x. Quindi utilizzando 0 e 2:
0 q 2 = 1 + 0^3 + 2^4 = 17
2 q 0 = 1 + 2^3 + 0^4 = 9
La funzione non è commutativa.
3) Qui ho usato la regola (x q y) q z = x q (y q z). Quindi utilizzando 0, 1 e 2:
(0 q 1) q 2 = (1 + 0^3 + 1^4) q 2 = 2 q 2 = 1 + 2^3 + 2^4 = 25
0 q (1 q 2) = 0 q (1 + 1^3 + 2^4) = 0 q 18 = 1 + 0^3 + 18^4 = 104977
La funzione non è associativa.
Grazie
Sia data la funzione q:
R x R ----> R
(x,y) ----> 1 + x^3 + y^4
Rispondere alle seguenti domande motivando la risposta:
1) Vista come un'applicazione, la funzione è suriettiva?
2) Vista come operazione binaria, la funzione è commutativa?
3) Vista come operazione binaria, la funzione è associativa?
1) Non so come farlo. Il professore lo ha svolto così ma non ho capito molto bene, o meglio in questo caso più o meno si capisce, ma se provo ad applicare questo ragionamento ad altri esercizi non riesco a risolverli.
dato r appartenente a R
scegliamo opportunamente Y=0
r = q (x,0) = 1 - x^3
r - 1 = x^3
x = $root(3)(r - 1)$ se r-1 > 0
- $root(3)(|r - 1|)$ se r-1 < 0
La funzione è suriettiva.
2) Qui ho usato la regola x q y = y q x. Quindi utilizzando 0 e 2:
0 q 2 = 1 + 0^3 + 2^4 = 17
2 q 0 = 1 + 2^3 + 0^4 = 9
La funzione non è commutativa.
3) Qui ho usato la regola (x q y) q z = x q (y q z). Quindi utilizzando 0, 1 e 2:
(0 q 1) q 2 = (1 + 0^3 + 1^4) q 2 = 2 q 2 = 1 + 2^3 + 2^4 = 25
0 q (1 q 2) = 0 q (1 + 1^3 + 2^4) = 0 q 18 = 1 + 0^3 + 18^4 = 104977
La funzione non è associativa.
Grazie
Risposte
2 e 3 sono risolti correttamente, per 1 è un po' più difficile perché devi dimostrare che qualunque valore associ all'immagine c'è almeno una coppia $(x, y)$ che va in quel numero. Il prof., visto che bastavano le coppie $(x, 0)$ per risolvere la questione, ha deciso di non andare ad incasinarsi con 2 variabili.
Se l'immagine della funzione fosse stata $x^4+y^4 -5$ avresti potuto affermare che non era suriettiva in quanto nessuna delle coppie poteva dare immagini minori di $-5$, di solito bisogna guardare la funzione per capire come giocarsela.
Magari se metti qualche esempio di esercizi che non riesci a risolvere posso darti qualche spunto.
Se l'immagine della funzione fosse stata $x^4+y^4 -5$ avresti potuto affermare che non era suriettiva in quanto nessuna delle coppie poteva dare immagini minori di $-5$, di solito bisogna guardare la funzione per capire come giocarsela.
Magari se metti qualche esempio di esercizi che non riesci a risolvere posso darti qualche spunto.
Ciao melia, grazie di aver risposto. Ecco alcuni esempi:
R x R ----> R
(x,y) ----> x^5 y
R x R ----> R
(x,y) ----> 1 + x^2 + y^3
R x R ----> R
(x,y) ----> x^4 + y^2
R x R ----> R
(x,y) ----> x^5 + y
Grazie
R x R ----> R
(x,y) ----> x^5 y
R x R ----> R
(x,y) ----> 1 + x^2 + y^3
R x R ----> R
(x,y) ----> x^4 + y^2
R x R ----> R
(x,y) ----> x^5 + y
Grazie
R x R ----> R
(x,y) ----> x^5 y
Questa è suriettiva, lo puoi dimostrare con il metodo del tuo professore utilizzando le coppie $(x, 1)$ oppure le coppie $(1,y)$, non puoi usare $0$ altrimenti si annulla tutto.
R x R ----> R
(x,y) ----> 1 + x^2 + y^3
Anche questa è suriettiva, le coppie da utilizzare sono $(0,y)$
R x R ----> R
(x,y) ----> x^4 + y^2
Questa non è suriettiva, ottieni solo immagini $>=0$, basta un controesempio un'immagine negativa non si ottiene mai
Il problema sarebbe diverso se avessi avuto
R x R ----> R
(x,y) ----> x^4 - y^2
qui devi applicare il procedimento due volte: una con le coppie $(x,0)$ per ottenere le immagini positive o nulle e una con le coppie $(0, y)$ per ottenere le immagini negative o nulle.
R x R ----> R
(x,y) ----> x^5 + y
questa è suriettiva e puoi utilizzare indifferentemente le coppie $(x, 0)$ o le coppie $(0, y)$
Riassumendo: con gli esponenti dispari ottieni quello che vuoi, con quelli pari ottieni sono numeri che hanno il segno del coefficiente.
(x,y) ----> x^5 y
Questa è suriettiva, lo puoi dimostrare con il metodo del tuo professore utilizzando le coppie $(x, 1)$ oppure le coppie $(1,y)$, non puoi usare $0$ altrimenti si annulla tutto.
R x R ----> R
(x,y) ----> 1 + x^2 + y^3
Anche questa è suriettiva, le coppie da utilizzare sono $(0,y)$
R x R ----> R
(x,y) ----> x^4 + y^2
Questa non è suriettiva, ottieni solo immagini $>=0$, basta un controesempio un'immagine negativa non si ottiene mai
Il problema sarebbe diverso se avessi avuto
R x R ----> R
(x,y) ----> x^4 - y^2
qui devi applicare il procedimento due volte: una con le coppie $(x,0)$ per ottenere le immagini positive o nulle e una con le coppie $(0, y)$ per ottenere le immagini negative o nulle.
R x R ----> R
(x,y) ----> x^5 + y
questa è suriettiva e puoi utilizzare indifferentemente le coppie $(x, 0)$ o le coppie $(0, y)$
Riassumendo: con gli esponenti dispari ottieni quello che vuoi, con quelli pari ottieni sono numeri che hanno il segno del coefficiente.
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