Esercizio di algebra lineare
Salve, vorrei chiedervi un aiuto su questo esercizio.
Dimostrare che se A (matrice 4×4 a coefficienti in k) è tale che A^4=0 allora A+I è invertibile.
Io sono riuscito a dimostrare che A ha solo autovalore 0 con molteplicità algebrica 4 ma non riesco a concludere riguardo all'invertibilità di A+I.
Dimostrare che se A (matrice 4×4 a coefficienti in k) è tale che A^4=0 allora A+I è invertibile.
Io sono riuscito a dimostrare che A ha solo autovalore 0 con molteplicità algebrica 4 ma non riesco a concludere riguardo all'invertibilità di A+I.
Risposte
Prova a pensare cosa succede se dividi il polinomio $1 - x^4$ per $1+x$. Questo dovrebbe darti un suggerimento su come affrontare il resto dell'esercizio.
Non sono ben sicuro su come sfruttare la scomposizione del polinomio. Tuttavia, ho pensato magari di farlo per assurdo. Suppongo che A+I non sia invertibile, det (A+I)=0 perciò ha autovalore \lambda =0.
Così posto v autovettore di autovalore 0 ottengo che (A+I)v=0 perciò Av=-v ma poichè A ha solo autovalore 0 ottengo un assurdo. Se per caso hai un modo più rapido accetto consigli.
Così posto v autovettore di autovalore 0 ottengo che (A+I)v=0 perciò Av=-v ma poichè A ha solo autovalore 0 ottengo un assurdo. Se per caso hai un modo più rapido accetto consigli.
$I=I^4=I^4-A^4=(I+A)(I-A)(I^2+A^2)$
$1=det(I+A)\cdot det(I-A)\cdot det(I^2+A^2)$
$1 \ne 0->det(I+A)\ne 0,det(I-A)\ne 0,det(I^2+A^2)\ne 0$
Ergo: la matrice $A+I$ è invertibile.
$1=det(I+A)\cdot det(I-A)\cdot det(I^2+A^2)$
$1 \ne 0->det(I+A)\ne 0,det(I-A)\ne 0,det(I^2+A^2)\ne 0$
Ergo: la matrice $A+I$ è invertibile.
In realta' la soluzione proposta da Gauss95 e' molto piu' elegante di quella a cui pensavo io.
Nella mia (che e' essenzialmente quella che poi ha scritto renatino), si ha il vantaggio che si vede proprio quale e' l'inversa. Infatti si ottiene che l'inversa di $I+A$ sara' $(I-A)(I^2+A^2)$.
Da notare che, affinche' la scomoposizione sia valida, bisogna che le matrici coinvolte commutino (altrimenti l'identita' $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ non e' valida). Ma $A$ certamente commuta con se stessa e l'altra matrice coinvolta e' $I$, che commuta con tutto.
Nella mia (che e' essenzialmente quella che poi ha scritto renatino), si ha il vantaggio che si vede proprio quale e' l'inversa. Infatti si ottiene che l'inversa di $I+A$ sara' $(I-A)(I^2+A^2)$.
Da notare che, affinche' la scomoposizione sia valida, bisogna che le matrici coinvolte commutino (altrimenti l'identita' $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ non e' valida). Ma $A$ certamente commuta con se stessa e l'altra matrice coinvolta e' $I$, che commuta con tutto.
Ringrazio per la vostra proposta che mi ha comunque aiutato a capire com'è fatta l'inversa di A+I
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