Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve a tutti.
Ho trovato un esercizio sul Manetti (pag 57, es. 3.42) che sostiene che il prodotto cartesiano di tre spazi $X$, $Y$ e $Z$, dotati ognuno della propria topologia, è associativo, ma soprattutto, hanno tutti e tre la stessa topologia.
Premetto che per quanto mi risulta, una coppia $((x,y),z)\ne(x,(y,z))$ ed entrambe non sono terne ordinate. Per cui io dico che il prodotto cartesiano non è associativo.
Sono d'accordo che $\exists f: (X \times Y)\times Z\rightarrow X\times Y\times Z$ e ...
Ciao a tutti! Un dubbio..
L'insieme $Y=[0,1]\cup(2,3)$ è non connesso in quanto lo stesso è dato dall'unione di due aperti non vuoti disgiunti.
Ora il fatto che si possa scomporre $Y$ nell'unione di due insiemi non vuoti e disgiunti è chiaro
$$A=[0,1]\ne\varnothing\hspace{1 cm}B=(2,3)\ne\varnothing$$
il fatto che siano aperti invece mi crea qualche dubbio, vi spiego perchè:
- Se $A$ è aperto allora per ogni suo punto posso trovare una ...
Salve a tutti.
Stavo cercando di dimostrare questo:
Sia $X\subseteq \mathbb{R}^2$ convesso e limitato. Allora $\mathbb{R}^2-X$ è connesso per archi.
Ho provato a ragionare per assurdo, ma non riesco a continuare:
Se per assurdo $\mathbb{R}^2-X$ fosse non connesso per archi, allora non sarebbe stellato, allora non sarebbe convesso. Da qui non so proseguire. Già mi immagino che da qui non si possa dire "allora X è convesso", ed anche se si riuscisse non riuscirei a trovare l'assurdo.
Ho provato a ...
Salve a tutti.
Sto cercando di dimostrare un esercizio che posterò qui:
Siano $n\ge 2$ ed $f:S^n\rightarrow\mathbb{R}$ un'applicazione continua. Se $A:={t\in f(S^n)| |f^{-1}(t)|<\infty}$, dimostrare che $|A|\le 2$.
Potete dare una controllata alla mia dimostrazione per favore?
dim: Avevo pensato di dimostrarla per assurdo. L'idea che voglio seguire è quella di far vedere che, se $|A|>2$, allora $f$ non è continua, in quanto manda $S^n-f^-1(A)$ (connesso, perchè ...
Salve a tutti. Apro un nuovo argomento su un tema trattato spesso nel forum, di cui però non ho trovato la risposta che cerco.
La questione è semplice da esporre:
Ogni spazio vettoriale di dimensione finita $n$ che indicherò con $V^n$, può essere messo in corrispondenza biunivoca con lo spazio $RR^n$.
Fissata allora una base (qualunque) per $V^n$ ad esempio $B:{\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3,...,\vec v_n}$ si ha che ogni vettore $\vec u in V^n$ può essere espresso come ...
Salve a tutti,
stavo rivedendo degli esercizi d'esame e non riesco mai a capire come ottengono l'equazione cartesiana dell'immagine di una funzione.
Nello specifico, l'esercizio è
In $RR^3$ sono dati i vettori $v_1= (1,0,0), v_2=(1,0,-2), v_3=(-1-1-0)$. Verificare che le assegnazioni
$f(v_1)=(0,0,h))$
$f(v_2)=(-2h-4, -2, h)$
$f(v_3)=(-h-4,-2-2)$
definiscono una funzione lineare $f: RR^3 rarr RR^3$, con $h in RR$.
Determinare nucleo e immagine di f al variare di h indicando, nei casi significativi, una base ...
Ciao ragazzi potete indicarmi un link alla procedura per estrarre una base partendo da un equazione?
Ho difficoltà a capire come far sparire, ad esempio, x y z and t da un equazione del tipo $ 2x+4y-z+3t=0 $
Con S in R4.
Salve, sto studiando i numeri complessi per un'esame a breve. Ma nel mio libro non ci sono ( .-. incredibile ma vero). Ho una domanda di teoria a cui non so come rispondere, che è la seguente "dare una definizione di forma algebrica e forma trigonometrica dei numeri complessi" . Quale sarebbe una risposta completa per questa domanda?
Questo è l'esercizio e purtroppo non so neanche da dove partire:
Si considerino le matrici
$Aα = [ ( cosalpha , -senalpha ),( senalpha , cosalpha ) ] $
Dimostrare che la trasformazione
$ ( ( x ),( y ) ) |-> A_alpha( ( x ),( y ) ) $
rappresenta una rotazione di un angolo α in senso antiorario.
Qualche suggerimento?
Salve a tutti, studiando Geometria e Algebra Lineare ho trovato un problema riguardo ai prodotti scalari.
In R³ Mi si chiede di Determinare il prodotto scalare * rispetto al quale 3 vettori {(0,1,1);(1,1,1);(1,0,0)} risultano una base ortonormale.
Preso un Spazio Vettoriale V un prodotto scalare su V é un'applicazione \( \mathbb{VxV} \rightarrow \mathbb{R} \) simmetrica cioe v *w=w*v allora presi due vettori X:(x1,x2,x3) Y:(y1,y2,y3) una forma generale potrebbe essere \( \mathrm{X*Y=Ax1y1 ...
Ciao! Sono una studentessa di Medicina, perdonate perciò l' eventuale banalità delle domande e del linguaggio.
Sono in possesso di immagini bidimensionali dalle quali posso ottenere le dimensioni (lunghezza-larghezza-profondità) di solidi irregolari. MOLTO irregolari. A questo punto vorrei calcolarne il volume.
Vi chiedo se esistono programmi/algoritmi/boh che mi consentano di inserire un certo numero di misure o di fare "il contorno" di questi solidi in modo da calcolare il volume. GRAZIE in ...
Salve,
Faccio una premessa:
Il caso $n=2$ so dimostrarlo per sottoinsiemi numerabili del tipo $A\times A$, dove $A$ numerabile in $\mathbb{R}$.
Se però $A\subset \mathbb{R}^2$, non è detto che $\exists B\subset \mathbb{R}| A=B\times B$.
Tuttavia mi viene in mente questo ragionamento:
Considero $\pi_i:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$, per $i\in {1,2}$. Definisco $A_i:=\pi_i(A)$, per $i\in {1,2}$.
Prendo $B:=A_1\cup A_2$. Allora si ha che $A\subseteq B\times B$. A questo punto $B\times B$ è ...
Salve,
ho 2 vettori dipendenti $R^2$
$v1 = (1, 2)$
$v2 = (2, 4)$
per verificare se sono dipendenti posso metterli nella matrice come colonne e vedere se il determinante viene uguale a 0, questo è vero quindi i 2 vettori sono dipendenti.
Ma per verificarlo posso fare anche un sistema moltiplicato per le incognite e porlo uguale al vettore nullo e vedere se almeno un'incognita esce diversa da 0, quindi.
\[\begin{pmatrix} 1 &2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x1\\ x2 ...
Salve a tutti.
Preciso che $\mathbb{R}_{Sf}$ è la retta di Sorgenfrey. Il fatto che sia $T_2$, penso si possa far vedere così:
comunque si scelgano due punti $(x_1,y_1)$ ed $(x_2,y_2)$ distinti, posso scegliere $\epsilon:=\frac{|x_1-x_2|}{2}$ e $\delta:=frac{|y_1-y_2|}{2}$. Uno dei due fra $\epsilon$ e $\delta$ sarà sicuramente positivo. Suppongo senza perdita di generalità che sia $\epsilon >0$. Allora $U:=[x_1,\epsilon[ \times [y_1,c[$, (dove $c>y_1$) è un intorno di ...
Salve a tutti avrei una domanda da farvi:
considerando questo sistema:
$\{(x = 2z + 1),(y = 3z - 2):}$
lo si può pensare come l'equazione parametrica di una retta che dipende dal parametro "z"; quindi questo sistema è una retta!
Se noi pensiamo le due equazioni separate, la prima sarebbe l'equazione di una retta sul piano x z, mentre l'altra l'equazione di un'altra retta sul piano y z. Quindi sarebbe l'intersezione di due rette appartenenti a due piani ortogonali! Quindi al limite, da questo sistema, ...
Salve a tutti.
Ho un esercizio che mi chiede: Se su un insieme infinito ci metto la topologia cofinita, allora è di Hausdorff?
Io dico di no: Prendo $X$ tale che $|X|=+\infty$. Se $X$ fosse di Hausdorff allora dovrebbe esserlo anche $X\times X$, e $\Delta$ (la diagonale) dovrebbe essere necessariamente chiusa in $X\times X$. Ma questa diagonale sarebbe infinita e non coinciderebbe con tutto l'insieme $X\times X$.
Per cui se prendessi ...
Salve a tutti, nonostante sia iscritto da un pò di tempo, dopo l'iscrizione non mi è mai capitato di aprire un topic.. spero di non sbagliare..
Ho un quesito da sottoporre, ho provato a cercare nei topic passati ma senza trovare precisamente questa dimostrazione (ne ho trovate altre valide nel forum e in altri testi).
Non riesco a decifrare bene questo ragionamento (immagine allegata) presente nel mio testo di studio riguardo alla dimostrazione che la base duale sia tale. Questa verifica ...
Ciao a tutti,
sto svolgendo il seguente esercizio:
Nello spazio vettoriale E3 rispetto alla base canonica B(e1,e2,e3) sono dati i vettori:
a(1,2,-1) b(2,3,1) c(0,-1,4)
Determinare i numeri reali r,s,t in modo che il vettore ra + sb + tc sia eguale a e1.
Sono arrivato a questo punto, ma non so come andare avanti:
r(1,2,-1) +s(2,3,1) + t(0,-1,4) = e1
(r+2s,2r+3s-t,s-r+4t)=e1
e1(r+2s) +e2(2r+3s-t) + e3(s-r+4t)= e1
Grazie in anticipo.
Sapreste indicarmi delle applicazioni del teorema di frobenius? Io su Internet ho trovato delle applicazioni ai gruppi di Lie.
Per la fisica matematica ad esempio?
Grazie
Salve a tutti
dovrei trovare una base del nucleo e una dell'immagine. Indicato con V il sottospazio di $C^{\infty}(R)$ generato dalle funzioni $\sin x \quad \cos x$, poniamo:
$F:V \rightarrow V: f(x) \rightarrow f'"(x)+f(x)$.
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Un generico vettore v in V è:
$v = A \sin(x) + B \cos(x)$
$F(v)=-A \sin(x)+B \cos(x)$
Questa è l'immagine di v secondo F.
Per trovare il nucleo devo fare un sistema: (?)
$-A\sin(x)=0$
$B \cos(x)=0$
Sono in difficoltà, gradirei qualche indicazione.
Grazie e saluti
Giovanni C.
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