Hausdorff e topologia cofinita
Salve a tutti.
Ho un esercizio che mi chiede: Se su un insieme infinito ci metto la topologia cofinita, allora è di Hausdorff?
Io dico di no: Prendo $X$ tale che $|X|=+\infty$. Se $X$ fosse di Hausdorff allora dovrebbe esserlo anche $X\times X$, e $\Delta$ (la diagonale) dovrebbe essere necessariamente chiusa in $X\times X$. Ma questa diagonale sarebbe infinita e non coinciderebbe con tutto l'insieme $X\times X$.
Per cui se prendessi $Y:=X\times X$, $Y$ sarebbe infinito e di Hausdorff per costruzione, ma se ci mettessi su la topologia cofinita, la diagonale (che per costruzione dovrebbe essere chiusa) non sarebbe un chiuso della topologia.
Che ne dite? Vi torna?
Ho un esercizio che mi chiede: Se su un insieme infinito ci metto la topologia cofinita, allora è di Hausdorff?
Io dico di no: Prendo $X$ tale che $|X|=+\infty$. Se $X$ fosse di Hausdorff allora dovrebbe esserlo anche $X\times X$, e $\Delta$ (la diagonale) dovrebbe essere necessariamente chiusa in $X\times X$. Ma questa diagonale sarebbe infinita e non coinciderebbe con tutto l'insieme $X\times X$.
Per cui se prendessi $Y:=X\times X$, $Y$ sarebbe infinito e di Hausdorff per costruzione, ma se ci mettessi su la topologia cofinita, la diagonale (che per costruzione dovrebbe essere chiusa) non sarebbe un chiuso della topologia.
Che ne dite? Vi torna?
Risposte
Semplicemente, stai scrivendo che: uno spazio topologico \(\displaystyle X\) soddisferebbe l'assioma di separazione di Hausdorff se e solo se la diagonale \(\displaystyle\Delta\) in \(\displaystyle X\times X\) con la topologia prodotto fosse chiusa.
Se \(\displaystyle X\) ha supporto infinito e la topologia cofinita, anche \(\displaystyle X\times X\) ha la topologia cofinita[nota]Diamolo per scontato.[/nota]; quindi \(\displaystyle\Delta\subsetneqq X\times X\) ed è un insieme infinito, per cui non è chiusa e perciò \(\displaystyle X\) non soddisfa l'assioma di separazione di Hausdorff!
Te l'ho (ri)scritto in una forma più lineare, o meglio, IMHO, meno contorta.
Se \(\displaystyle X\) ha supporto infinito e la topologia cofinita, anche \(\displaystyle X\times X\) ha la topologia cofinita[nota]Diamolo per scontato.[/nota]; quindi \(\displaystyle\Delta\subsetneqq X\times X\) ed è un insieme infinito, per cui non è chiusa e perciò \(\displaystyle X\) non soddisfa l'assioma di separazione di Hausdorff!
Te l'ho (ri)scritto in una forma più lineare, o meglio, IMHO, meno contorta.
Puoi risolvere l'esercizio in maniera elementare: se X è infinito l'intersezione di due aperti può mai essere vuota?
"_fabricius_":
Puoi risolvere l'esercizio in maniera elementare: se X è infinito l'intersezione di due aperti può mai essere vuota?
L'unione di due chiusi è $X$ se e solo se uno dei due è tutto $X$. Il che vuol dire che l'intersezione di due aperti è il vuoto se e solo se uno dei due è il vuoto. Giusto?
Però non ho ben capito se quello che ho detto prima, che in effetti coincide con quello che ha scritto meglio j18eos, risponda alla domanda in maniera completa, seppur meno elementare rispetto all'idea di fabricius.
@Isaac888 Certo che è corretto; un altro modo veramente overkiller, consiste nell'usare il seguente risultato:
Uno spazio topologico \(\displaystyle X\) soddisfa l'assioma di separazione di Hausdorff se e solo se per ogni suo punto \(\displaystyle x\), l'intersezione degli intorni chiusi di \(\displaystyle x\) è \(\displaystyle\{x\}\).
"Isaac888":
Che ne dite? Vi torna?
"j18eos":
Se [tex]X[/tex] ha supporto infinito e la topologia cofinita, anche [tex]X \times X[/tex] ha la topologia cofinita - Diamolo per scontato.
"Isaacs888":
Però non ho ben capito se quello che ho detto prima, che in effetti coincide con quello che ha scritto meglio j18eos, risponda alla domanda in maniera completa, seppur meno elementare rispetto all'idea di fabricius.
"j18eos":No Isaac888 e j18eos, l'idea della diagonale non funziona.
@Isaac888 Certo che è corretto
Se [tex]X[/tex] è infinito con la topologia cofinita allora la topologia prodotto su [tex]X \times X[/tex] non è quella cofinita.
Infatti se [tex]F[/tex] è un chiuso non vuoto di [tex]X[/tex] diverso da [tex]X[/tex] e [tex]\pi_2:X \times X \to X[/tex] indica la seconda proiezione allora per definizione di topologia prodotto [tex]\pi_2^{-1}(F)[/tex] è un chiuso di [tex]X \times X[/tex]. Ma [tex]\pi_2^{-1}(F) = X \times F[/tex], e questo non è un insieme finito.
"Martino":Accidenti!
...Se \( X \) è infinito con la topologia cofinita allora la topologia prodotto su \( X \times X \) non è quella cofinita...
Per la serie: il risultato è vero ma la dimostrazione è sbagliata! -_-
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