Spazio vettoriale e base canonica

[Hornet345]

Ciao a tutti,
sto svolgendo il seguente esercizio:

Nello spazio vettoriale E3 rispetto alla base canonica B(e1,e2,e3) sono dati i vettori:
a(1,2,-1) b(2,3,1) c(0,-1,4)

Determinare i numeri reali r,s,t in modo che il vettore ra + sb + tc sia eguale a e1.


Sono arrivato a questo punto, ma non so come andare avanti:

r(1,2,-1) +s(2,3,1) + t(0,-1,4) = e1

(r+2s,2r+3s-t,s-r+4t)=e1

e1(r+2s) +e2(2r+3s-t) + e3(s-r+4t)= e1

Grazie in anticipo.

[ciampax]

I coefficienti posti, rispettivamente, pari a $1, 0, 0$....

[phaerrax]

Anche $e_1$ può essere espresso come combinazione lineare della base canonica: è semplicemente $e_1=1e_1+0e_2+0e_3$. Prima avevi trovato anche che $(r+2s)e_1 +(2r+3s-t)e_2 +(s-r+4t) e_3= e_1$, no?
Allora, prosegui ricordando che poiché la base canonica è, appunto, una base, la rappresentazione del vettore $ra+sb+tc$ come combinazione lineare di $e_1$, $e_2$ ed $e_3$ è unica, dunque i coefficienti dei due membri dell'equazione trovata devono essere uguali.

[Hornet345]

Ciao e grazie 1000 ad entrambi.
Ho fatto un passo indietro...cioé:
i vettori sono:

a(1,2,-1) b(2,3,1) c(0,-1,4)

[...]


r(1,2,-1) + s(2,3,1) + t(0,-1,4) = (1,0,0)

(r,2r,-r) + (2s,3s,s) +(0,-t,4t) = (1,0,0)

(r+2s,2r+3s,-t,-r+s+4t) = (1,0,0)

da cui ottengo:

r+2s=1
2r+3s-t=0
-r+s+4t=0


ho evitato il passaggio precedente:
e1(r+2s) +e2(2r+3s-t)......