Prodotto cartesiano di spazi topologici è associativo
Salve a tutti.
Ho trovato un esercizio sul Manetti (pag 57, es. 3.42) che sostiene che il prodotto cartesiano di tre spazi $X$, $Y$ e $Z$, dotati ognuno della propria topologia, è associativo, ma soprattutto, hanno tutti e tre la stessa topologia.
Premetto che per quanto mi risulta, una coppia $((x,y),z)\ne(x,(y,z))$ ed entrambe non sono terne ordinate. Per cui io dico che il prodotto cartesiano non è associativo.
Sono d'accordo che $\exists f: (X \times Y)\times Z\rightarrow X\times Y\times Z$ e $g:X \times (Y\times Z)\rightarrow X\times Y\times Z$, omeomorfismi, perciò tutte e tre le scritture sono omeomorfe.
Il punto è che per essere la stessa topologia, gli insiemi non devono essere in bigezione, ma proprio uguali! Siete d'accordo?
La mia idea sarebbe stata, eventualmente i tre insiemi, per qualche motivo che ancora non so, coincidessero, quella di far vedere che $(X \times Y)\times Z$ e $X \times (Y\times Z)$ sono omeomorfi tramite l'applicazione identica a $X\times Y\times Z$.
Fatemi sapere per favore. Grazie in anticipo.
Ho trovato un esercizio sul Manetti (pag 57, es. 3.42) che sostiene che il prodotto cartesiano di tre spazi $X$, $Y$ e $Z$, dotati ognuno della propria topologia, è associativo, ma soprattutto, hanno tutti e tre la stessa topologia.
Premetto che per quanto mi risulta, una coppia $((x,y),z)\ne(x,(y,z))$ ed entrambe non sono terne ordinate. Per cui io dico che il prodotto cartesiano non è associativo.
Sono d'accordo che $\exists f: (X \times Y)\times Z\rightarrow X\times Y\times Z$ e $g:X \times (Y\times Z)\rightarrow X\times Y\times Z$, omeomorfismi, perciò tutte e tre le scritture sono omeomorfe.
Il punto è che per essere la stessa topologia, gli insiemi non devono essere in bigezione, ma proprio uguali! Siete d'accordo?
La mia idea sarebbe stata, eventualmente i tre insiemi, per qualche motivo che ancora non so, coincidessero, quella di far vedere che $(X \times Y)\times Z$ e $X \times (Y\times Z)$ sono omeomorfi tramite l'applicazione identica a $X\times Y\times Z$.
Fatemi sapere per favore. Grazie in anticipo.
Risposte
Dal punto di vista insiemistico, esiste (presi due a due) una bîezione canonica tra i tre insiemi che proponi, quindi nella pratica non li si distingue mai. Da un punto di vista logico estremamente rigoroso potresti anche avere ragione a distinguerli, essendo definiti diversamente (tra l'altro, tu che definizione usi per il prodotto \(X \times Y \times Z\)?), ma godono tutti e tre della stessa proprietà universale (il che formalizza rigorosamente l'idea che "fanno tutti e tre la stessa cosa"), per giunta attraverso funzioni privilegiate (le proiezioni ovvie), quindi da un punto di vista strutturale quei tre insiemi sono indistinguibili (se guardati come insiemi; lo scopo dell'esercizio è dimostrare che sotto l'ipotesi di essere coerenti con la scelta delle topologie sono indistinguibili anche come spazi topologici), ovvero non nuoce identificarli.
"Epimenide93":
che definizione usi per il prodotto X×Y×Z?
Uso quella ovvia (penso) $X\times Y\times Z ={(x,y,z)| x\in X, y\in Y, z\in Z}$.
Scusa se ti importuno, ma veramente non riesco a capire. Come si può dimostrare la traccia dell'esercizio se i tre insiemi li considero indistinguibili? Non è banale che la topologia su uno di questi insiemi sia una topologia anche su tutti gli altri insiemi a quel punto?
Nel testo dell'esercizio non dice niente riguardo alla possibilità di identificarli canonicamente.
Quello che posso dire, con le giuste proiezioni, è che questi insiemi sono omeomorfi, il che equivale a dire che le loro topologie vengono identificate.
"Isaac888":
Uso quella ovvia (penso) $X\times Y\times Z ={(x,y,z)| x\in X, y\in Y, z\in Z}$.
Ok, ma cos'è una tripla ordinata?
"Isaac888":
Scusa se ti importuno, ma veramente non riesco a capire. Come si può dimostrare la traccia dell'esercizio se i tre insiemi li considero indistinguibili? Non è banale che la topologia su uno di questi insiemi sia una topologia anche su tutti gli altri insiemi a quel punto?
No, perché pur identificando i sostegni (gli insiemi) le topologie sono ottenute in modi differenti. Scrivo per chiarezza gli spazi con le relative topologie per esteso. Supponiamo di avere \((X, \sigma_X)\), \((Y,\sigma_Y)\) e \((Z, \sigma_Z)\). Sia \(\tau\) la topologia prodotto data da \((X \times Y, \tau) = (X, \sigma_X) \times (Y,\sigma_Y)\). Un conto è prendere prima \(\tau\) e poi fare la topologia prodotto tra \(\tau\) e \(\sigma_Z\), un conto è prendere direttamente la topologia prodotto su \((X, \sigma_X) \times (Y,\sigma_Y) \times (Z, \sigma_Z)\), a priori i le topologie risultanti potrebbero essere diverse, sebbene siano entrambe topologie sullo stesso sostegno \(X \times Y \times Z\). Fammi sapere se sono riuscito a spiegarmi.
"Isaac888":
Nel testo dell'esercizio non dice niente riguardo alla possibilità di identificarli canonicamente.
Immagino lo dia per scontato, altrimenti non parlerebbe di "stessa topologia". Ripeto, l'identificazione da dare per scontata è solo quella insiemistica, quella topologica è il punto dell'esercizio.
"Epimenide93":
cos'è una tripla ordinata?
Continuo a non capire cosa vorresti suggerirmi con questa domanda.
"Epimenide93":
Supponiamo di avere (X,σX), (Y,σY) e (Z,σZ). Sia τ la topologia prodotto data da (X×Y,τ)=(X,σX)×(Y,σY). Un conto è prendere prima τ e poi fare la topologia prodotto tra τ e σZ, un conto è prendere direttamente la topologia prodotto su (X,σX)×(Y,σY)×(Z,σZ), a priori i le topologie risultanti potrebbero essere diverse, sebbene siano entrambe topologie sullo stesso sostegno X×Y×Z
Credo di capire cosa intendi a questo punto. Sarebbe sensato tentare la dimostrazione del fatto che:
$id:X\times \Y\times Z\rightarrow X\times Y\times Z$ è un omeomorfismo? (dove sul dominio ho messo la topologia prodotto tra quelle che tu chiami: $\tau$ e $\sigma Z$; e sul codominio la topologia prodotto di $\sigma X$, $\sigma Y$, $\sigma Z$)
Potrei affermare, a quel punto, che le topologie $\tau \times \sigma Z$ e $\sigma X \times \sigma Y \times \sigma Z$?
(Nel dominio ho identificato così $(X\times \Y)\times Z$ e $X\times \Y\times Z$ solo come insiemi. Le topologie però le ho prese "seguendo le parentesi". Ho capito bene?)
Forse invece di "stessa topologia" sarebbe più chiaro dire "stesse proprietà topologiche".
Se è così, basta far vedere, ad esempio, che due insiemi $X$ e $Y$ sono omeomorfi tramite l'applicazione $f$, in modo tale da dire che $A$ è un aperto in $X$ se è solo se $f(A)$ è un aperto in $Y$ e viceversa.
Se è così, basta far vedere, ad esempio, che due insiemi $X$ e $Y$ sono omeomorfi tramite l'applicazione $f$, in modo tale da dire che $A$ è un aperto in $X$ se è solo se $f(A)$ è un aperto in $Y$ e viceversa.
"Newdementia":
Forse invece di "stessa topologia" sarebbe più chiaro dire "stesse proprietà topologiche".
Se è così, basta far vedere, ad esempio, che due insiemi $X$ e $Y$ sono omeomorfi tramite l'applicazione $f$, in modo tale da dire che $A$ è un aperto in $X$ se è solo se $f(A)$ è un aperto in $Y$ e viceversa.
Mi chiedo, se quello che ho scritto io:
"Isaac888":(ecc.)
id:X×Y×Z→X×Y×Z è un omeomorfismo? (dove sul dominio ho messo la topologia prodotto tra quelle che tu chiami: τ e σZ; e sul codominio la topologia prodotto di σX, σY, σZ)
non sia equivalente proprio a quello che dici tu. Chiedo conferme...
"Isaac888":
Sarebbe sensato tentare la dimostrazione del fatto che:
$id:X\times \Y\times Z\rightarrow X\times Y\times Z$ è un omeomorfismo? (dove sul dominio ho messo la topologia prodotto tra quelle che tu chiami: $\tau$ e $\sigma Z$; e sul codominio la topologia prodotto di $\sigma X$, $\sigma Y$, $\sigma Z$)
Potrei affermare, a quel punto, che le topologie $\tau \times \sigma Z$ e $\sigma X \times \sigma Y \times \sigma Z$?
Sì, secondo me è questo che chiede l'esercizio (con un "sono uguali" alla fine della domanda
).@Newdementia stai ridando la definizione di omeomorfismo o sbaglio?
Dunque, dopo tutte le considerazioni fatte sulla possibilità di identificare i tre prodotti cartesiani come insiemi, credo di aver dimostrato che le topologie $\tau \times \sigma Z$ e $\sigma X \times \sigma Y \times \sigmaZ$ sono equivalenti facendo vedere che $id: X\times Y\times Z \rightarrow X\times Y\times Z$ è una applicazione aperta (dato che è banalmente bigettiva).
dim: Sia $A\times B$ un aperto della base della topologia prodotto $\tau$, e $C$ un aperto della base della topologia $\sigma Z$. Allora $(A\times B)\times C$ è un aperto della topologia $\tau \times \sigma Z$, essendo nella base di quest'ultima.
$id((A\times B)\times C)=(A\times B)\times C$ che è uguale (per l'identificazione) a $A\times B\times C$ che è composto dal prodotto di aperti nella base delle tre topologie, perciò è un aperto della base della topologia $\sigma X \times \sigma Y \times \sigmaZ$. Allora $A\times B\times C$ è un aperto di $\sigma X \times \sigma Y \times \sigmaZ$.
(Il procedimento è analogo per la topologia su $X\times (Y\times Z)$ ).
Ditemi se è giusta questa dimostrazione per favore.
dim: Sia $A\times B$ un aperto della base della topologia prodotto $\tau$, e $C$ un aperto della base della topologia $\sigma Z$. Allora $(A\times B)\times C$ è un aperto della topologia $\tau \times \sigma Z$, essendo nella base di quest'ultima.
$id((A\times B)\times C)=(A\times B)\times C$ che è uguale (per l'identificazione) a $A\times B\times C$ che è composto dal prodotto di aperti nella base delle tre topologie, perciò è un aperto della base della topologia $\sigma X \times \sigma Y \times \sigmaZ$. Allora $A\times B\times C$ è un aperto di $\sigma X \times \sigma Y \times \sigmaZ$.
(Il procedimento è analogo per la topologia su $X\times (Y\times Z)$ ).
Ditemi se è giusta questa dimostrazione per favore.
Ci sei quasi, ma non basta. Oltre ad essere bîettiva ed aperta dev'essere anche continua. In realtà la continuità è facile (è lo stesso ragionamento che riporti, fatto partendo da \(\sigma_X \times \sigma_Y \times \sigma_Z\) e andando a finire in \(\tau \times \sigma_Z\), ed in questo caso torna tutto). La dimostrazione che l'identità è aperta così come la proponi non va bene (è incompleta): preso \(T \times C\) generico elemento di una base per \(\tau \times \sigma_Z\) non è affatto detto che sia \(T = A \times B\) con \(A \in \sigma_X\) e \(B \in \sigma_Y\), in generale sarà \(T = \bigcup (A \times B)\), per concludere dovresti dimostrare che \(\left [ \bigcup (A \times B) \right ] \times C \) (spero il significato dei simboli sia chiaro, altrimenti dimmelo ché riscrivo per esteso) è aperto in \(\sigma_X \times \sigma_Y \times \sigma_Z\). Comunque l'idea c'è tutta, la dimostrazione dovrebbe potersi aggiustare con poco.
A me sembra che tu l'abbia fatta più complicata di quello che è .
Non basta ricordarsi di come è fatta la base canonica di un prodotto di n spazi topologici e poi semplicemente far vedere in modo molto semplice che un aperto della base di AxBxC è un elemento della base di (AxB)xC e di Ax(BxC) e viceversa ? Quindi hanno la stessa base dunque sono la stessa topologia. Ovviamente sfrutti l'associativita del prodotto cartesiano di insiemi.
Non basta ricordarsi di come è fatta la base canonica di un prodotto di n spazi topologici e poi semplicemente far vedere in modo molto semplice che un aperto della base di AxBxC è un elemento della base di (AxB)xC e di Ax(BxC) e viceversa ? Quindi hanno la stessa base dunque sono la stessa topologia. Ovviamente sfrutti l'associativita del prodotto cartesiano di insiemi.
"FE":
Non basta ricordarsi di come è fatta la base canonica di un prodotto di n spazi topologici e poi semplicemente far vedere in modo molto semplice che un aperto della base di AxBxC è un elemento della base di (AxB)xC e di Ax(BxC) e viceversa ?
Il problema è che non è così. Sebbene abbiano la stessa topologia i tre spazi hanno "basi canoniche" diverse (in particolare la base di \(A \times B \times C\) è strettamente contenuta in quella degli altri due, mentre le altre due non sono confrontabili tra loro rispetto all'inclusione). È quello che ho provato a spiegare nel mio messaggio precedente.
Si ho riflettuto dopo sulla tua risposta. Il problema sta nel far vedere il "viceversa". Ma mi sembrava che il viceversa valesse perché un'unione di prodotti di insiemi aperti si poteva dimostrare uguale al prodotto di due unioni di insiemi aperti. Non so se mi spiego. Ma visto che dici che una è strettamente contentuta nell altra probabilmente ho preso una cantonata e sto delirando
"FE":
mi sembrava che il viceversa valesse perché un'unione di prodotti di insiemi aperti si poteva dimostrare uguale al prodotto di due unioni di insiemi aperti
Pensa ad un disco aperto di \(\mathbb{R}^2\). Non puoi scriverlo in termini di rettangoli aperti senza passare per qualche unione infinita.
Hint:
Ma io non posso caratterizzare gli aperti di uno prodotto di spazi topologici (per esempio di due spazi) come " tutti e soli gli insiemi di tipo UxV con U aperto o V aperto " ? Così l asserto si dimostra facilmente. Era la prima cosa che avevo pensato prima di ragionare sulle basi ma poi ho pensato che ci fosse qualcosa che non tornava.
Ripropongo la dimostrazione. Spero migliorata.
dim:
$id$ è continua:
Sia $A\times B\times C$ un aperto di $X\times Y\times Z$, dove $A\in \sigma X$, $B\in \sigma Y$, $C\in \sigma Z$.
La sua controimmagine tramite $id^{-1}: X\times Y\times Z \rightarrow (X\times Y)\times Z$ sarà (sapendo che $id=id^-1$)
$id(A\times B\times C)=(A\times B)\times C=A\times B\times C$ in virtù dell'identificazione insiemistica.
Tale insieme è un aperto di $(X\times Y)\times Z$ in quanto $(A\times B)$ è un aperto di $X\times Y$ e $C$ è un aperto di $Z$.
Allora $id$ è continua
$id $ è aperta:
Sia $H$ aperto in $(X\times Y)$, $C$ aperto in $Z$. Allora $H=\bigcup_{I\times J}{A_i\times B_j}$, con $A_i\in \sigma X, B_j\in \sigma Y, \forall (i,j)\in I\times J$ dove $I$ e $J$ sono particolari insiemi di indici.
A questo punto $id(H\times C)=H\times C =\bigcup_{I\times J}{A_i\times B_j} \times C =\bigcup_{I\times J}{(A_i\times B_j)\times C} =\bigcup_{I\times J}{A_i\times B_j\times C}$ data l'identificazione insiemistica.
Ma $A_i\times B_j\times C$ è un aperto della topologia prodotto $\sigma X \times \sigma Y \times \sigma Z$ al variare di $i$ e $j$.
Dunque l'intera unione $\bigcup_{I\times J}{A_i\times B_j\times C}$ è un aperto di $X \times Y \times Z$.
$id$ è dunque aperta.
Data la bigettività di $id$ (ovvia), si ha che a questo punto $id$ è un omeomorfismo.
Qualcuno mi può dire se è giusta per favore? Grazie mille in anticipo e mi scuso di essere così insistente, ma purtroppo questo non è per me una passeggiata.
dim:
$id$ è continua:
Sia $A\times B\times C$ un aperto di $X\times Y\times Z$, dove $A\in \sigma X$, $B\in \sigma Y$, $C\in \sigma Z$.
La sua controimmagine tramite $id^{-1}: X\times Y\times Z \rightarrow (X\times Y)\times Z$ sarà (sapendo che $id=id^-1$)
$id(A\times B\times C)=(A\times B)\times C=A\times B\times C$ in virtù dell'identificazione insiemistica.
Tale insieme è un aperto di $(X\times Y)\times Z$ in quanto $(A\times B)$ è un aperto di $X\times Y$ e $C$ è un aperto di $Z$.
Allora $id$ è continua
$id $ è aperta:
Sia $H$ aperto in $(X\times Y)$, $C$ aperto in $Z$. Allora $H=\bigcup_{I\times J}{A_i\times B_j}$, con $A_i\in \sigma X, B_j\in \sigma Y, \forall (i,j)\in I\times J$ dove $I$ e $J$ sono particolari insiemi di indici.
A questo punto $id(H\times C)=H\times C =\bigcup_{I\times J}{A_i\times B_j} \times C =\bigcup_{I\times J}{(A_i\times B_j)\times C} =\bigcup_{I\times J}{A_i\times B_j\times C}$ data l'identificazione insiemistica.
Ma $A_i\times B_j\times C$ è un aperto della topologia prodotto $\sigma X \times \sigma Y \times \sigma Z$ al variare di $i$ e $j$.
Dunque l'intera unione $\bigcup_{I\times J}{A_i\times B_j\times C}$ è un aperto di $X \times Y \times Z$.
$id$ è dunque aperta.
Data la bigettività di $id$ (ovvia), si ha che a questo punto $id$ è un omeomorfismo.
Qualcuno mi può dire se è giusta per favore? Grazie mille in anticipo e mi scuso di essere così insistente, ma purtroppo questo non è per me una passeggiata.
"FE":
Ma io non posso caratterizzare gli aperti di uno prodotto di spazi topologici (per esempio di due spazi) come " tutti e soli gli insiemi di tipo UxV con U aperto e V aperto " ?
Direi proprio di no, quella (con la congiunzione inclusiva) è solo una base per la topologia prodotto, non è tutta la topologia. Con la congiunzione esclusiva "o" non è neanche detto che tu ottenga un insieme aperto (pensa a \([0,1] \times (0,1)\)).
"Isaac888":
$id$ è continua:
Corretto (magari fai cenno al fatto che avendolo dimostrato su una base, il tutto si estende alla topologia intera).
"Isaac888":
$id $ è aperta:
Sì, mi sembra che così torni tutto
Sto anche io studiando questi argomenti e a quanto pare non avevo capito nulla dei prodotti
Grazie mille Epimenide sei sempre chiaro oltre che preparato!
"FE":
Grazie mille Epimenide sei sempre chiaro oltre che preparato!
Grazie a te!
"FE":
Sto anche io studiando questi argomenti e a quanto pare non avevo capito nulla dei prodotti
I prodotti topologici tendono a sembrare più innocenti di quanto in effetti non siano
I prodotti topologici tendono a sembrare più innocenti di quanto in effetti non siano
True story. Per esempio e' sul Manetti che ho imparato che se $X\times Y\cong X\times Z$ non e' detto che $Y\cong Z$.
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