Se $A\subset\mathbb{R}^n$ numerabile, $\mathbb{R}^n - A$ è conn. per archi ($n\ge 2$)
Salve,
Faccio una premessa:
Il caso $n=2$ so dimostrarlo per sottoinsiemi numerabili del tipo $A\times A$, dove $A$ numerabile in $\mathbb{R}$.
Se però $A\subset \mathbb{R}^2$, non è detto che $\exists B\subset \mathbb{R}| A=B\times B$.
Tuttavia mi viene in mente questo ragionamento:
Considero $\pi_i:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$, per $i\in {1,2}$. Definisco $A_i:=\pi_i(A)$, per $i\in {1,2}$.
Prendo $B:=A_1\cup A_2$. Allora si ha che $A\subseteq B\times B$. A questo punto $B\times B$ è numerabile.
Se faccio vedere che $\mathbb{R} - B\times B$ è connesso per archi, a maggior ragione non dovrebbe essere vero che $\mathbb{R}^2 - A$ sia connesso per archi?
In fin dei conti ho preso un piano con ancora più buchi di quello di partenza ed ho fatto vedere che è connesso per archi. Se ne "tappo" qualcuno (lasciando solo quelli fatti da A) mi sembra ancora connesso per archi, no ?...
Faccio una premessa:
Il caso $n=2$ so dimostrarlo per sottoinsiemi numerabili del tipo $A\times A$, dove $A$ numerabile in $\mathbb{R}$.
Se però $A\subset \mathbb{R}^2$, non è detto che $\exists B\subset \mathbb{R}| A=B\times B$.
Tuttavia mi viene in mente questo ragionamento:
Considero $\pi_i:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$, per $i\in {1,2}$. Definisco $A_i:=\pi_i(A)$, per $i\in {1,2}$.
Prendo $B:=A_1\cup A_2$. Allora si ha che $A\subseteq B\times B$. A questo punto $B\times B$ è numerabile.
Se faccio vedere che $\mathbb{R} - B\times B$ è connesso per archi, a maggior ragione non dovrebbe essere vero che $\mathbb{R}^2 - A$ sia connesso per archi?
In fin dei conti ho preso un piano con ancora più buchi di quello di partenza ed ho fatto vedere che è connesso per archi. Se ne "tappo" qualcuno (lasciando solo quelli fatti da A) mi sembra ancora connesso per archi, no ?...
Risposte
Non ho capito esattamente cosa stai cercando di dimostrare. Che ipotesi hai su \(A\)? Perché per \(A\) arbitrari ciò che dici è falso.
"vict85":
Non ho capito esattamente cosa stai cercando di dimostrare. Che ipotesi hai su \(A\)? Perché per \(A\) arbitrari ciò che dici è falso.
Hai ragione, scusa. Ho modificato il titolo.
Sto cercando di dimostrare che $\mathbb{R}^2-A$ è connesso per archi , se $A$ è un sottoinsieme numerabile di $\mathbb{R}^2$. (Lo sto facendo per $n=2$ perchè credo che la dimostrazione per $n>2$ ricalchi quella per $n=2$)
Mi chiedevo se, $\mathbb{R}^2 - B\times B$ connesso per archi, dove $B\subset \mathbb{R}$ è numerabile, implichi che $\mathbb{R}^2 - A$ sia connesso per archi, se $A\subset \mathbb{R}^2$, ed $A\subseteq B\times B$ è numerabile.
Tutto questo mi serve, nella proposizione di cui al titolo, per supporre senza perdita di generalità che $A$ possa essere sostituito con $A^n$, dove $A\subseteq \mathbb{R}$ è numerabile.
La dimostrazione si basa su un principio differente.
Prendi due punti e due percorsi \(\displaystyle \gamma_1 \) e \(\displaystyle \gamma_2 \) tra di loro che non possiedono punti in comune tranne che gli estremi. L'insieme dei percorsi \(\displaystyle t\gamma_1 + (1-t)\gamma_2 \) con \(\displaystyle t \in [0,1] \) hanno la cardinalità del continuo. Prova a continuare tu.
Prendi due punti e due percorsi \(\displaystyle \gamma_1 \) e \(\displaystyle \gamma_2 \) tra di loro che non possiedono punti in comune tranne che gli estremi. L'insieme dei percorsi \(\displaystyle t\gamma_1 + (1-t)\gamma_2 \) con \(\displaystyle t \in [0,1] \) hanno la cardinalità del continuo. Prova a continuare tu.
"vict85":
La dimostrazione si basa su un principio differente.
Prendi due punti e due percorsi \(\displaystyle \gamma_1 \) e \(\displaystyle \gamma_2 \) tra di loro che non possiedono punti in comune tranne che gli estremi. L'insieme dei percorsi \(\displaystyle t\gamma_1 + (1-t)\gamma_2 \) con \(\displaystyle t \in [0,1] \) hanno la cardinalità del continuo. Prova a continuare tu.
Ho capito (fammi sapere se ho fatto bene per favore). Lo dimostro in generale:
sia $A\subset \mathbb{R}^n$ numerabile e siano $x$ ed $y$ due punti distinti in $\mathbb{R}^n - A$;
prendo una retta $r\subset \mathbb{R}^n$ esterna ai punti $x$ ed $y$ (lo posso fare perchè $n \ge 2$);
siano, $\forall c \in r$, $\gamma_1(t):=(1-t)x + tc$ e $\gamma_2(t):=(1-t)c + ty$, per $t \in [0,1]$;
definisco $\gamma_c(t):=(\gamma_1 \star \gamma_2)(t)$ per $t\in[0,1]$ (cammino che contiene $x$,$y$ e $c$);
definisco $H:={\gamma_c|c\in r}$.
A questo punto osservo che $|H|>|A|$.
Se per assurdo ogni curva di $H$ contenesse un punto di $A$, allora, per come sono state costruite le curve (non possiedono due punti in comune, tranne gli estremi), si dovrebbe avere necessariamente che $|A|\ge |H|$. Ma ciò è assurdo. Allora $\exists c\in r| \gamma_c(t)\cap A=\emptyset, \forall t \in [0,1]$, allora esiste una curva completamente contenuta in $\mathbb{R}^n-A$ che connette due punti distinti di $\mathbb{R}^n - A$. Allora, data l'arbitrarietà della scelta dei punti $x$ ed $y$, possiamo concludere che $\mathbb{R}^n - A$ è connesso per archi.
Però da un punto di vista didattico mi interessa lo stesso questa cosa:
Se infatti ciò fosse vero, allora una dimostrazione alternativa (più lunga) potrebbe essere:
prendo $\A_i:=pi_i(A)$, per $i\in{1,2,...,n}$, dove $\pi_i:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$, e considero $B:=\bigcup_{i=1}^{n}A_i$. A questo punto $B^n\supseteq A$. Ora dimostro che $\mathbb{R}^n - B^n$ è connesso per archi.
Prendo due punti $x=(x_1,...,x_n)$ ed $y=(y_1,...,y_n)$ in $\mathbb{R}^n - B^n$. Supponiamo WLOG che $x_i\notin B, \forall i
Poi avrei proceduto con questa idea di tracciare segmenti paralleli agli assi, che congiungono punti intermedi, fino ad arrivare alla fine. Per $n=2$ è tutto più intuitivo e facile da capire, ma per $n>2$ ammetto che è un delirio. Forse un induzione mi avrebbe salvato, una volta fatto su $n=2$ (dove si hanno solo due eventualità circa l'appartenenza delle coordinate di ciascun punto all'insieme $B$)... boh?
"Isaac888":
Mi chiedevo se, $\mathbb{R}^2 - B\times B$ connesso per archi, dove $B\subset \mathbb{R}$ è numerabile, implichi che $\mathbb{R}^2 - A$ sia connesso per archi, se $A\subset \mathbb{R}^2$, ed $A\subseteq B\times B$ è numerabile.
Se infatti ciò fosse vero, allora una dimostrazione alternativa (più lunga) potrebbe essere:
prendo $\A_i:=pi_i(A)$, per $i\in{1,2,...,n}$, dove $\pi_i:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$, e considero $B:=\bigcup_{i=1}^{n}A_i$. A questo punto $B^n\supseteq A$. Ora dimostro che $\mathbb{R}^n - B^n$ è connesso per archi.
Prendo due punti $x=(x_1,...,x_n)$ ed $y=(y_1,...,y_n)$ in $\mathbb{R}^n - B^n$. Supponiamo WLOG che $x_i\notin B, \forall i
Poi avrei proceduto con questa idea di tracciare segmenti paralleli agli assi, che congiungono punti intermedi, fino ad arrivare alla fine. Per $n=2$ è tutto più intuitivo e facile da capire, ma per $n>2$ ammetto che è un delirio. Forse un induzione mi avrebbe salvato, una volta fatto su $n=2$ (dove si hanno solo due eventualità circa l'appartenenza delle coordinate di ciascun punto all'insieme $B$)... boh?
Penso che la tua dimostrazione abbia qualche falla per delle particolari scelte di \(\displaystyle r \). Per toglierti ogni problema puoi supporre che la retta si trovi sull'iperpiano ortogonale alla retta che passa per i due punti e che passi per il punto medio del segmento che li unisce.
Riguardo alla tua domanda ci penso domani.
Riguardo alla tua domanda ci penso domani.
"vict85":
Penso che la tua dimostrazione abbia qualche falla per delle particolari scelte di \(\displaystyle r \). Per toglierti ogni problema puoi supporre che la retta si trovi sull'iperpiano ortogonale alla retta che passa per i due punti e che passi per il punto medio del segmento che li unisce.
Mi puoi far vedere, per favore, con un controesempio, perchè una scelta di $r$, come quella che ho fatto io, è problematica? Non capisco perchè dovrei prenderla come mi suggerisci.
Grazie per la disponibilità.
Se prendi in \(\mathbb{R}^2\) l'asse \(\displaystyle x = 0 \) e i punti \(\displaystyle A = (2, 0) \) e \(\displaystyle B = (1, 0) \). Per \(\displaystyle c = (0,0) \) i tre punti sono allineati nel modo sbpagliato. Non so se mi sono spiegato. Se ti fai un disegno dovresti capire il problema, in pratica il segmento tra \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle c \) passa per i punti del segmento tra \(\displaystyle B \) e \(\displaystyle c \).
Riguardo al tuo ragionamento penso sia una strada piena di insidie. Inoltre alla fine finiresti per fare un discorso simile a quello che ti ho proposto io. Prendi un qualsiasi punto \(\displaystyle P \) in \(\displaystyle \mathbb{R}^n-B^n \) e supponi che \(\displaystyle P\in \overline{B^n} \). Ti trovi allora a dover dimostrare di poterti muovere in una qualche direzione. In particolare puoi usare un ragionamento simile a quello di prima lavorando sulle semirette che partono da \(\displaystyle P \).
Riguardo al tuo ragionamento penso sia una strada piena di insidie. Inoltre alla fine finiresti per fare un discorso simile a quello che ti ho proposto io. Prendi un qualsiasi punto \(\displaystyle P \) in \(\displaystyle \mathbb{R}^n-B^n \) e supponi che \(\displaystyle P\in \overline{B^n} \). Ti trovi allora a dover dimostrare di poterti muovere in una qualche direzione. In particolare puoi usare un ragionamento simile a quello di prima lavorando sulle semirette che partono da \(\displaystyle P \).
Non capisco ancora una cosa. L'ortogonalità dell'iperpiano rispetto alla retta che congiunge i due punti. Perchè ortogonale? Non basta che siano semplicemente in somma diretta? E poi, perchè nel punto medio? non basta che la retta intersechi il segmento fuori dagli estremi?
Grazie mille
Grazie mille
Certo, basta che la retta in questione non intersechi la retta che congiunge i due punti al di fuori del segmento che li unisce. Qualsiasi retta che soddisfa questa condizione minima va bene.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo