Costruzione Prodotto Scalare NON standard

[lapo94]

Salve a tutti, studiando Geometria e Algebra Lineare ho trovato un problema riguardo ai prodotti scalari.
In R³ Mi si chiede di Determinare il prodotto scalare * rispetto al quale 3 vettori {(0,1,1);(1,1,1);(1,0,0)} risultano una base ortonormale.

Preso un Spazio Vettoriale V un prodotto scalare su V é un'applicazione \( \mathbb{VxV} \rightarrow \mathbb{R} \) simmetrica cioe v *w=w*v allora presi due vettori X:(x1,x2,x3) Y:(y1,y2,y3) una forma generale potrebbe essere \( \mathrm{X*Y=Ax1y1 + Bx1y2 + Cx1y3 + Dx2y1+ Ex2y2 + Fx2y3 + Gx3y1 + Hx3y2 + Ix3y3} \)
con A...I coefficienti del prodotto
A questo punto dovrei "Simulare" questo prodotto scalare sui 3 vettori candidati a base ortonormale?
Cioè con (0,1,1)=(v1,v2,v3); (1,1,1)=(w1,w2,w3); (1,0,0)=(u1,u2,u3) dovrei almeno mettere a sistema per garantire l'ortogonalità?...
\begin{cases} \mathrm{0=Av1w1 + Bv1w2 + Cv1w3 + Dv2w1+ Ev2w2 + Fv2w3 + Gv3w1 + Hv3w2 + Iv3w3} \\ \mathrm{0=Av1u1 + Bv1u2 + Cv1u3 + Dv2u1+ Ev2u2 + Fv2u3 + Gv3u1 + Hv3u2 + Iv3u3} \\ \mathrm{0=Au1w1 + Bu1w2 + Cu1w3 + Du2w1+ Eu2w2 + Fu2w3 + Gu3w1 + Hu3w2 + Iu3w3} \end{cases}
ma questo mi risolve solamente 3/9 dei coefficienti che cerco!
Altre 3 Equazioni posso trovarle nello studio della Norma dei tre vettori...ma il Resto?

In poche parole questo mio metodo sembra non essere molto fattibile...
c'è qualche particolare che mi sto perdendo? E' giusto il ragionamento? Esiste un metodo più veloce?
Grazie mille per l'attenzione, per favore aiuto

[vict85]

La matrice del prodotto scalare rispetto a quella base risulta essere l'identità (i vettori sono ortonormali). Quello che devi fare è quindi di riportati alla base standard.

[lapo94]

Scusa, non ho ben capito; cosa significa riportarti alla base standard?

[vict85]

"desperado":Scusa, non ho ben capito; cosa significa riportarti alla base standard?

Tu hai una matrice espressa rispetto ad una base non standard e devi esprimerla nella base standard.

[dissonance]

"desperado":Salve a tutti, studiando Geometria e Algebra Lineare ho trovato un problema riguardo ai prodotti scalari.
In R³ Mi si chiede di Determinare il prodotto scalare * rispetto al quale 3 vettori {(0,1,1);(1,1,1);(1,0,0)} risultano una base ortonormale.

Preso un Spazio Vettoriale V un prodotto scalare su V é un'applicazione \( \mathbb{VxV} \rightarrow \mathbb{R} \) simmetrica cioe v *w=w*v allora presi due vettori X:(x1,x2,x3) Y:(y1,y2,y3) una forma generale potrebbe essere \( \mathrm{X*Y=Ax1y1 + Bx1y2 + Cx1y3 + Dx2y1+ Ex2y2 + Fx2y3 + Gx3y1 + Hx3y2 + Ix3y3} \)
con A...I coefficienti del prodotto
A questo punto dovrei "Simulare" questo prodotto scalare sui 3 vettori candidati a base ortonormale?
Cioè con (0,1,1)=(v1,v2,v3); (1,1,1)=(w1,w2,w3); (1,0,0)=(u1,u2,u3) dovrei almeno mettere a sistema per garantire l'ortogonalità?...
\begin{cases} \mathrm{0=Av1w1 + Bv1w2 + Cv1w3 + Dv2w1+ Ev2w2 + Fv2w3 + Gv3w1 + Hv3w2 + Iv3w3} \\ \mathrm{0=Av1u1 + Bv1u2 + Cv1u3 + Dv2u1+ Ev2u2 + Fv2u3 + Gv3u1 + Hv3u2 + Iv3u3} \\ \mathrm{0=Au1w1 + Bu1w2 + Cu1w3 + Du2w1+ Eu2w2 + Fu2w3 + Gu3w1 + Hu3w2 + Iu3w3} \end{cases}
ma questo mi risolve solamente 3/9 dei coefficienti che cerco!
Altre 3 Equazioni posso trovarle nello studio della Norma dei tre vettori...ma il Resto?

In poche parole questo mio metodo sembra non essere molto fattibile...
c'è qualche particolare che mi sto perdendo? E' giusto il ragionamento? Esiste un metodo più veloce?
Grazie mille per l'attenzione, per favore aiuto

I coefficienti non sono 9 ma 6, non ti scordare che la matrice deve essere simmetrica. E poi, a occhio, mi sa che ti sei scordato di imporre che i tre vettori dati abbiano lunghezza $1$, il che ti dovrebbe fornire giusto le tre equazioni mancanti.