Applicazioni del teorema di frobenius

[Federico7771]

Sapreste indicarmi delle applicazioni del teorema di frobenius? Io su Internet ho trovato delle applicazioni ai gruppi di Lie.
Per la fisica matematica ad esempio?


Grazie

[Pappappero1]

Frobenius ne ha fatti diversi di teoremi. Se spieghi di che teorema stai parlando, forse si riesce a dare una risposta un po' piu' precisa.

[j18eos]

Il teorema di Frobenius permette di dimostrare il teorema di esistenza di \(\displaystyle k\) funzioni di Casimir in un intorno di ogni punto di una varietà di Poisson \(\displaystyle(P,\pi)\) di dimensione \(\displaystyle 2n+k\) con parentesi non degenere di rango \(\displaystyle k\)! (Meccanica Hamiltoniana)

[Federico7771]

Per papappero: mi riferisco al teorema riguardante i campi vettoriali non a quello per le forme.

Grazie Armando. Ti viene in mente altro ?

[Federico7771]

Qualcosa di più semplice possibilmente xD qualcosa di meno tecnico. Mi serve per una tesi triennale... Ad esempio ho scoperto che viene usato per le PDE.

[j18eos]

Prendilo con le molle: teorema 10.4 da Spivak - A Comprehensive Introduction to Differential Geometry. Volume I. Sostanzialmente, dati un gruppo di Lie \(\displaystyle G\) con algebra di Lie \(\displaystyle\mathfrak{g}\); sia \(\displaystyle\mathfrak{h}\) sottoalgebra di Lie di \(\displaystyle\mathfrak{g}\), esiste un sottogruppo \(\displaystyle H\) (di Lie) di \(\displaystyle G\) con algebra di Lie \(\displaystyle\mathfrak{h}\).

[vict85]

Se non ricordo male il teorema per le forme e quello per i campi sono uno il duale dell'altro. Le due condizioni sono infatti duali. Una applicazione per le PDE avviene per esempio attraverso gli exterior differenti al systems. In che senso ti serve per la tesi? Qual'è l'argomento?

[Federico7771]

Nella tesi dovrei presentare le varietà, il minimo sui fibrati per introdurre i campi vettoriali e il teorema di frobenius... devo concludere con un'applicazione o più applicazioni di questo teorema... io per ora ho trovato solo questo ( http://www.mat.unimi.it/users/gaeta/SD2/frob_short.pdf ) ma qualcosa di più chiaro non mi dispiacerebbe... conoscete libri che trattano queste applicazioni alle pde?

[vict85]

Io ti suggerirei di dare un occhiata a questo http://www.worldscientific.com/worldsci ... .1142/3812 , arriva al teorema in questione molto presto. Nota che alla fine del capitolo commenta che in molte applicazioni si preferisce usare il teorema sulle forme. Alla fine ci sono dei collegamenti con la fisica. Anche il Warner si dilunga abbastanza sul teorema, ma è meno indirizzato alle applicazioni. Anche il Lee ha qualcosa, ma non ho mai letto quella parte quindi non la conosco. I suoi libri sono in genere piuttosto semplici e forse un po' prolissi.

[Federico7771]

Grazie Armando e grazie vict85 per l'aiuto ma esaminando il libro in questione non ho trovato molto
Se qualcuno sa indicarmi un libro o una dispensa dove frobenius per i campi vettoriali viene usato per risolvere le PDE su varietà mi sarebbe di grande aiuto. Qualcosa tipo il pdf da me indicato in cima.
Il problema di quel documento è che sono presenti alcune notazioni ed alcuni passaggi non chiarissimi... Per questo motivo cerco un riferimento un po più dettagliato. Inoltre in quel pdf la varietà dove vengono risolte le equazioni è R^n generalmente... Esempi di pde risolte su varietà meno banali non mi dispiacerebbero.

Grazie in anticipo a tutti