Matrice con tutti i minori non nulli
Sia $K$ un campo infinito e siano $m, n$ interi positivi.
Dovrebbe essere vero ch'esiste una matrice di tipo $(m, n)$ i cui minori massimali siano tutti diversi da zero.
Nel caso in cui uno dei due interi sia uguale a 2 è evidente: la tesi equivale all'esistenza di un numero arbitrario di coppie di elementi di $K$ a due a due non proporzionali.
Nel caso generale sono solo riuscito a riformulare il problema in modi equivalenti:
1. Esistono successioni arbitrariamente lunghe di vettori di $K^n$ a n a n linearmente indipendenti.
2. Esistono successioni arbitrariamente lunghe d'iperpiani di $K^n$ passanti per l'origine a n a n ad intersezione banale (cioè l'intersezione di n iperpiani è ridotta all'origine).
3. Esistono successioni arbitrariamente lunghe di punti in posizione generale di $\mathbb{P}_n (K)$.
Dovrebbe essere vero ch'esiste una matrice di tipo $(m, n)$ i cui minori massimali siano tutti diversi da zero.
Nel caso in cui uno dei due interi sia uguale a 2 è evidente: la tesi equivale all'esistenza di un numero arbitrario di coppie di elementi di $K$ a due a due non proporzionali.
Nel caso generale sono solo riuscito a riformulare il problema in modi equivalenti:
1. Esistono successioni arbitrariamente lunghe di vettori di $K^n$ a n a n linearmente indipendenti.
2. Esistono successioni arbitrariamente lunghe d'iperpiani di $K^n$ passanti per l'origine a n a n ad intersezione banale (cioè l'intersezione di n iperpiani è ridotta all'origine).
3. Esistono successioni arbitrariamente lunghe di punti in posizione generale di $\mathbb{P}_n (K)$.
Risposte
Un'altra formulazione dovrebbe essere:
4. Dato un numero finito arbitrario di rette per l'origine di $K^n, n\ge 2$ esiste un iperpiano passante per l'origine che non ne contiene nessuna (cioè l'intersezione dell'iperpiano con ogni retta è ridotta alla sola origine).
4. Dato un numero finito arbitrario di rette per l'origine di $K^n, n\ge 2$ esiste un iperpiano passante per l'origine che non ne contiene nessuna (cioè l'intersezione dell'iperpiano con ogni retta è ridotta alla sola origine).
Mi è stato fatto notare che la soluzione è invero assai semplice.
Considero la matrice \(X=(x_{i,j})\) a coefficienti nell'anello \(K[x_{i,j}]\) dei polinomî a $m\times n$ indeterminate. Il prodotto dei suoi minori massimali è un polinomio non nullo, pertanto esistono elementi \(a_{i,j}\in K \) in cui non si annulla: questi sono i coefficienti della matrice voluta.
Inoltre mi sembra evidente che con la stessa argomentazione si può ottenere una matrice che abbia tutti i minori non nulli e non solo quelli massimali.
Considero la matrice \(X=(x_{i,j})\) a coefficienti nell'anello \(K[x_{i,j}]\) dei polinomî a $m\times n$ indeterminate. Il prodotto dei suoi minori massimali è un polinomio non nullo, pertanto esistono elementi \(a_{i,j}\in K \) in cui non si annulla: questi sono i coefficienti della matrice voluta.
Inoltre mi sembra evidente che con la stessa argomentazione si può ottenere una matrice che abbia tutti i minori non nulli e non solo quelli massimali.
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