Proiezione di un polinomio su uno spazio vettoriale
Buongiorno,
Non riesco a capire come risolvere il seguente esercizio di Algebra Lineare:
Si dimostri che l'insieme S\cap N è un sottospazio di P2(R), dove S={p\in P2(r): p(-1)=0} e N={p\in P2(r): p(1)=0}.
Si determini poi l'elemento di S\cap N che meglio approssima r(t)=t rispetto alla distanza indotta dal prodotto interno=\lmoustache p(t)q(t)dt (--> integrale fra -1 e 1 di p(t), q(t)).
Innanzitutto scusatemi ma è la prima volta che uso Latex.
Ho provato a risolvere l'esercizio e per il primo punto (dimostrare che è un sottospazio) ho pensato:
S\cap N={p\in P2(r): p(-1)=p(1)=0}. Perciò i polinomi ad esso appartenenti dovranno essere della forma ax^2+c=0 con a=-c.
Quindi considerando due polinomi r, q : r(-+1)=q+-(1)=0 (e che quindi appartengono a S\cap N) ho che, presi W,V reali:
Wr (+-1)+Vq(+-1)=0, perciò è un sottospazio.
Ora mi trovo piuttosto in difficoltà: infatti, ho pensato che una delle basi di S\cap N potrebbe essere {x^2, -1} (però già qui ho forti dubbi).
Queste non sono ortogonali, poichè=-2\3. Perciò applico Gram-Schmidt e ottengo:
b1=x^2
b2=1-(<-1,x^2>/)x^2= 1-(5/3)x^2.
Normalizzando ho:
b1=radice(3/2)*x^2
b2=radice(1/8)*X^2.
Questa DOVREBBE essere una base ortonormale del sottospazio.
Calcolo la proiezione di t sul sottospazio con il prodotto interno indicato e...... A ME VIENE 0!
Non so se sia plausibile il fatto che il polinomio sia ortogonale allo spazio, in ogni caso al di là del risultato, a me interesserebbe capire il procedimento e dove sbaglio.
Ringrazio moltissimo chi mi aiuterà, mi salvate un esame
Valentina.
NB. \cap dovrebbe essere il simbolo di intersezione, non riesco a capire perchè non si veda!
Non riesco a capire come risolvere il seguente esercizio di Algebra Lineare:
Si dimostri che l'insieme S\cap N è un sottospazio di P2(R), dove S={p\in P2(r): p(-1)=0} e N={p\in P2(r): p(1)=0}.
Si determini poi l'elemento di S\cap N che meglio approssima r(t)=t rispetto alla distanza indotta dal prodotto interno
Innanzitutto scusatemi ma è la prima volta che uso Latex.
Ho provato a risolvere l'esercizio e per il primo punto (dimostrare che è un sottospazio) ho pensato:
S\cap N={p\in P2(r): p(-1)=p(1)=0}. Perciò i polinomi ad esso appartenenti dovranno essere della forma ax^2+c=0 con a=-c.
Quindi considerando due polinomi r, q : r(-+1)=q+-(1)=0 (e che quindi appartengono a S\cap N) ho che, presi W,V reali:
Wr (+-1)+Vq(+-1)=0, perciò è un sottospazio.
Ora mi trovo piuttosto in difficoltà: infatti, ho pensato che una delle basi di S\cap N potrebbe essere {x^2, -1} (però già qui ho forti dubbi).
Queste non sono ortogonali, poichè
b1=x^2
b2=1-(<-1,x^2>/
Normalizzando ho:
b1=radice(3/2)*x^2
b2=radice(1/8)*X^2.
Questa DOVREBBE essere una base ortonormale del sottospazio.
Calcolo la proiezione di t sul sottospazio con il prodotto interno indicato e...... A ME VIENE 0!
Non so se sia plausibile il fatto che il polinomio sia ortogonale allo spazio, in ogni caso al di là del risultato, a me interesserebbe capire il procedimento e dove sbaglio.
Ringrazio moltissimo chi mi aiuterà, mi salvate un esame
Valentina.
NB. \cap dovrebbe essere il simbolo di intersezione, non riesco a capire perchè non si veda!
Risposte
I simboli di dollaro prima e dopo le formule.
Per attivare il metodo di inserimento della formule devi mettere la formula tra simboli di dollaro per asciimath
Con \(\displaystyle P2(R) \) intendi \(\displaystyle P_2(\mathbb{R}) \), ovvero l'insieme dei polinomi di grado al più due[nota]Sono piuttosto sicuro ma geometria esiste anche lo spazio \(\displaystyle \mathbb{P}^2(\mathbb{R}) \) (lo spazio proiettivo reale di dimensione 2), che è molto più importante.[/nota]?
Riguardo al sottospazio. Stai intersecando due sottospazi diversi di dimensioni \(\displaystyle 2 \) in uno spazio vettoriale di dimensione \(\displaystyle 3 \). Perciò questo sottospazio ha necessariamente dimensione \(\displaystyle 1 \) (per la formula di Grassmann). Perciò è il sottospazio generato da \(\displaystyle p(x) = (x-1)(x+1) = x^2-1 \). La tua scrittura è inoltre sbagliata perché \(\displaystyle ax^2+c=0 \) è una equazione e non un polinomio. Tra l'altro avresti comunque dovuto riconoscere che \(\displaystyle a = -c \) volesse dire che gli elementi sono della forma \(\displaystyle ax^2-a \). Insomma hai fatto i calcoli giusti ma poi li hai mal interpretati. Tra l'altro \(\displaystyle -1 \) e \(\displaystyle x^2 \) non sono né in \(\displaystyle S \) né in \(\displaystyle N \).
Perciò per ogni \(\displaystyle q = \alpha p \in S\cap N \) si ha che \(\displaystyle \langle q, r\rangle = \int_{-1}^1 q(t)r(t)\,dt = \alpha\int_{-1}^1 tp(t)\,dt = \alpha \int_{-1}^1 t(t^2-1)\,dt = \alpha\int_{-1}^1 t^3 - t\,dt = \alpha\cdot 0 = 0 \).
Il che è assolutamente plausibile. Insomma ogni polinomio ha uno spazio di dimensione \(\displaystyle 2 \) che è ad esso ortogonale (quello spazio è isomorfo a \(\displaystyle \mathbf{R}^3 \)). Ritornando al tuo problema, la proiezione di \(\displaystyle r \) su \(\displaystyle S\cap N \) è il vettore nullo. Ti lascio ragionare sulle conseguenze di questo fatto.
$ x^2 + 3 $oppure
\( \displaystyle x^2 + 3 \)per il latex. In entrambi i casi viene \( x^2 + 3 \). Seppur ci siano qualche errore qua e là nelle formule, quindi anche facendolo ora non avresti esattamente ciò che ti aspetti.
Con \(\displaystyle P2(R) \) intendi \(\displaystyle P_2(\mathbb{R}) \), ovvero l'insieme dei polinomi di grado al più due[nota]Sono piuttosto sicuro ma geometria esiste anche lo spazio \(\displaystyle \mathbb{P}^2(\mathbb{R}) \) (lo spazio proiettivo reale di dimensione 2), che è molto più importante.[/nota]?
Riguardo al sottospazio. Stai intersecando due sottospazi diversi di dimensioni \(\displaystyle 2 \) in uno spazio vettoriale di dimensione \(\displaystyle 3 \). Perciò questo sottospazio ha necessariamente dimensione \(\displaystyle 1 \) (per la formula di Grassmann). Perciò è il sottospazio generato da \(\displaystyle p(x) = (x-1)(x+1) = x^2-1 \). La tua scrittura è inoltre sbagliata perché \(\displaystyle ax^2+c=0 \) è una equazione e non un polinomio. Tra l'altro avresti comunque dovuto riconoscere che \(\displaystyle a = -c \) volesse dire che gli elementi sono della forma \(\displaystyle ax^2-a \). Insomma hai fatto i calcoli giusti ma poi li hai mal interpretati. Tra l'altro \(\displaystyle -1 \) e \(\displaystyle x^2 \) non sono né in \(\displaystyle S \) né in \(\displaystyle N \).
Perciò per ogni \(\displaystyle q = \alpha p \in S\cap N \) si ha che \(\displaystyle \langle q, r\rangle = \int_{-1}^1 q(t)r(t)\,dt = \alpha\int_{-1}^1 tp(t)\,dt = \alpha \int_{-1}^1 t(t^2-1)\,dt = \alpha\int_{-1}^1 t^3 - t\,dt = \alpha\cdot 0 = 0 \).
Il che è assolutamente plausibile. Insomma ogni polinomio ha uno spazio di dimensione \(\displaystyle 2 \) che è ad esso ortogonale (quello spazio è isomorfo a \(\displaystyle \mathbf{R}^3 \)). Ritornando al tuo problema, la proiezione di \(\displaystyle r \) su \(\displaystyle S\cap N \) è il vettore nullo. Ti lascio ragionare sulle conseguenze di questo fatto.
Grazie mille, si lo spazio era l'insieme dei polinomi di grado al più due.
Vorrei chiederti le ultime due cose:
Le due basi che hai trovato non sono ortonormali, perciò se avessi dovuto calcolare la proiezione di un altro vettore che non sia $ 0 $ avrei dovuto ortonormalizzarle e poi applicare il procedimento di Gram Schmidt nel modo usuale? O esiste un modo più pratico e veloce per ottenere basi ortonormali di polinomi?
Inoltre, se dovessi trovare la base di qualsiasi polinomio di grado 2, potrebbe essere : { $ x^2 $, $ x $, $ 1 $ } o è un errore? Nel caso sia errato, come potrei fare?
Ti ringrazio tantissimo.
Vorrei chiederti le ultime due cose:
Le due basi che hai trovato non sono ortonormali, perciò se avessi dovuto calcolare la proiezione di un altro vettore che non sia $ 0 $ avrei dovuto ortonormalizzarle e poi applicare il procedimento di Gram Schmidt nel modo usuale? O esiste un modo più pratico e veloce per ottenere basi ortonormali di polinomi?
Inoltre, se dovessi trovare la base di qualsiasi polinomio di grado 2, potrebbe essere : { $ x^2 $, $ x $, $ 1 $ } o è un errore? Nel caso sia errato, come potrei fare?
Ti ringrazio tantissimo.
"vict85":
Per attivare il metodo di inserimento della formule devi mettere la formula tra simboli di dollaro per asciimath$ x^2 + 3 $oppure\( \displaystyle x^2 + 3 \)per il latex. In entrambi i casi viene \( x^2 + 3 \). Seppur ci siano qualche errore qua e là nelle formule, quindi anche facendolo ora non avresti esattamente ciò che ti aspetti.
Con \(\displaystyle P2(R) \) intendi \(\displaystyle P_2(\mathbb{R}) \), ovvero l'insieme dei polinomi di grado al più due[nota]Sono piuttosto sicuro ma geometria esiste anche lo spazio \(\displaystyle \mathbb{P}^2(\mathbb{R}) \) (lo spazio proiettivo reale di dimensione 2), che è molto più importante.[/nota]?
Riguardo al sottospazio. Stai intersecando due sottospazi diversi di dimensioni \(\displaystyle 2 \) in uno spazio vettoriale di dimensione \(\displaystyle 3 \). Perciò questo sottospazio ha necessariamente dimensione \(\displaystyle 1 \) (per la formula di Grassmann). Perciò è il sottospazio generato da \(\displaystyle p(x) = (x-1)(x+1) = x^2-1 \). La tua scrittura è inoltre sbagliata perché \(\displaystyle ax^2+c=0 \) è una equazione e non un polinomio. Tra l'altro avresti comunque dovuto riconoscere che \(\displaystyle a = -c \) volesse dire che gli elementi sono della forma \(\displaystyle ax^2-a \). Insomma hai fatto i calcoli giusti ma poi li hai mal interpretati. Tra l'altro \(\displaystyle -1 \) e \(\displaystyle x^2 \) non sono né in \(\displaystyle S \) né in \(\displaystyle N \).
Perciò per ogni \(\displaystyle q = \alpha p \in S\cap N \) si ha che \(\displaystyle \langle q, r\rangle = \int_{-1}^1 q(t)r(t)\,dt = \alpha\int_{-1}^1 tp(t)\,dt = \alpha \int_{-1}^1 t(t^2-1)\,dt = \alpha\int_{-1}^1 t^3 - t\,dt = \alpha\cdot 0 = 0 \).
Il che è assolutamente plausibile. Insomma ogni polinomio ha uno spazio di dimensione \(\displaystyle 2 \) che è ad esso ortogonale (quello spazio è isomorfo a \(\displaystyle \mathbf{R}^3 \)). Ritornando al tuo problema, la proiezione di \(\displaystyle r \) su \(\displaystyle S\cap N \) è il vettore nullo. Ti lascio ragionare sulle conseguenze di questo fatto.
Grazie mille, si lo spazio era l'insieme dei polinomi di grado al più due.
Vorrei chiederti le ultime due cose:
Le due basi che hai trovato non sono ortonormali, perciò se avessi dovuto calcolare la proiezione di un altro vettore che non sia $ 0 $ avrei dovuto ortonormalizzarle e poi applicare il procedimento di Gram Schmidt nel modo usuale? O esiste un modo più pratico e veloce per ottenere basi ortonormali di polinomi?
Inoltre, se dovessi trovare la base di qualsiasi polinomio di grado 2, potrebbe essere : { $ x^2 $, $ x $, $ 1 $ } o è un errore? Nel caso sia errato, come potrei fare?
Ti ringrazio tantissimo.
"ciampax":
I simboli di dollaro prima e dopo le formule.
Thanks!
Non ho capito di che basi stai parlando: l'intersezione è di dimensione 1. Comunque quello spazio è isomorfo a \(\mathbb{R}^3\) quindi ogni metodo che vale per l'uno vale anche per l'altro. Quindi Gram-Schmidt va bene, ma questo esercizio non richiedeva di trovare una base ortogonale. La base standard di \( \displaystyle P_2(\mathbb{R}) \) è ortogonale ma non ortonormale (rispetto a questo prodotto!).
Detto questo ti trovo una base ortogonale di \(\displaystyle S = \{ p\in P_2(\mathbb{R}) : p(-1) = 0 \} \). La normalizzazione Tanto vale ignorarla. Dall'algebra sappiamo che \(\displaystyle p\in S \) se e solo se \(\displaystyle p = (x+1)(\alpha x - \beta) \). Qualche dubbio?
Per avere la nostra base ortogonale prendo due elementi di \(\displaystyle S \) a ‘caso’: \(\displaystyle p_1 = (x+1) \) e \(\displaystyle p_2 = x(x+1) \) . Come primo elemento della nostra base prendiamo \(\displaystyle b_1 = p_1 \), per la seconda sarà \(\displaystyle b_2 = p_2 - \frac{\langle p_2, b_1\rangle}{\langle b_1, b_1 \rangle} b_1 = x(x+1) - (x+1)\frac{\int_{-1}^1 t(t+1)^2\,dt}{\int_{-1}^1 (s+1)^2\,ds} \). I calcoli non sono difficili.
Detto questo ti trovo una base ortogonale di \(\displaystyle S = \{ p\in P_2(\mathbb{R}) : p(-1) = 0 \} \). La normalizzazione Tanto vale ignorarla. Dall'algebra sappiamo che \(\displaystyle p\in S \) se e solo se \(\displaystyle p = (x+1)(\alpha x - \beta) \). Qualche dubbio?
Per avere la nostra base ortogonale prendo due elementi di \(\displaystyle S \) a ‘caso’: \(\displaystyle p_1 = (x+1) \) e \(\displaystyle p_2 = x(x+1) \) . Come primo elemento della nostra base prendiamo \(\displaystyle b_1 = p_1 \), per la seconda sarà \(\displaystyle b_2 = p_2 - \frac{\langle p_2, b_1\rangle}{\langle b_1, b_1 \rangle} b_1 = x(x+1) - (x+1)\frac{\int_{-1}^1 t(t+1)^2\,dt}{\int_{-1}^1 (s+1)^2\,ds} \). I calcoli non sono difficili.
"vict85":
Non ho capito di che basi stai parlando: l'intersezione è di dimensione 1. Comunque quello spazio è isomorfo a \(\mathbb{R}^3\) quindi ogni metodo che vale per l'uno vale anche per l'altro. Quindi Gram-Schmidt va bene, ma questo esercizio non richiedeva di trovare una base ortogonale. La base standard di \( \displaystyle P_2(\mathbb{R}) \) è ortogonale ma non ortonormale (rispetto a questo prodotto!).
Detto questo ti trovo una base ortogonale di \(\displaystyle S = \{ p\in P_2(\mathbb{R}) : p(-1) = 0 \} \). La normalizzazione Tanto vale ignorarla. Dall'algebra sappiamo che \(\displaystyle p\in S \) se e solo se \(\displaystyle p = (x+1)(\alpha x - \beta) \). Qualche dubbio?
Per avere la nostra base ortogonale prendo due elementi di \(\displaystyle S \) a ‘caso’: \(\displaystyle p_1 = (x+1) \) e \(\displaystyle p_2 = x(x+1) \) . Come primo elemento della nostra base prendiamo \(\displaystyle b_1 = p_1 \), per la seconda sarà \(\displaystyle b_2 = p_2 - \frac{\langle p_2, b_1\rangle}{\langle b_1, b_1 \rangle} b_1 = x(x+1) - (x+1)\frac{\int_{-1}^1 t(t+1)^2\,dt}{\int_{-1}^1 (s+1)^2\,ds} \). I calcoli non sono difficili.
Ok penso di aver capito, grazie mille sei stato gentilissimo.
Buona serata
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