Trasformazine lineare inversa
Salve, ho la seguente trasformazione lineare:
$T: R^3 --- > R^3 (x,y,z) = ( x, 2x+y, 2y+z)$
Per trovare l'inversa della trasformazione lineare posso trovare l'inversa della matrice associata a tale trasformazione lineare?
Quindi la matrice associata è:
\[\large A = \bigl(\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 1 \end{smallmatrix}\bigr)\]
Verificato che la matrice è invertibile, visto che il determinante è diverso da 0, quindi la sua inversa è:
\[\large A^-1 = \bigl(\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0\\ -2 & 1 & 0\\ -4 & -2 & 1 \end{smallmatrix}\bigr)\]
Quindi la trasformazione lineare inversa è:
$T: R^3 -----> R^3 (x,y,z) = (x,-2x+y,-4x-2y+z)$
E' corretto?
$T: R^3 --- > R^3 (x,y,z) = ( x, 2x+y, 2y+z)$
Per trovare l'inversa della trasformazione lineare posso trovare l'inversa della matrice associata a tale trasformazione lineare?
Quindi la matrice associata è:
\[\large A = \bigl(\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 1 \end{smallmatrix}\bigr)\]
Verificato che la matrice è invertibile, visto che il determinante è diverso da 0, quindi la sua inversa è:
\[\large A^-1 = \bigl(\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0\\ -2 & 1 & 0\\ -4 & -2 & 1 \end{smallmatrix}\bigr)\]
Quindi la trasformazione lineare inversa è:
$T: R^3 -----> R^3 (x,y,z) = (x,-2x+y,-4x-2y+z)$
E' corretto?
Risposte
Se l'inversa come da te verificato e' corretta, allora dovrebbe essere tutto giusto!
Ciao.
Penso che il ragionamento sia corretto.
E' l'aspetto sintattico che andrebbe un po' curato.
L'applicazione $T$ andrebbe scritta così:
$T:RR^3 rightarrow RR^3$ con $T(x,y,z)=(x,2x+y,2y+z)$
Inoltre l'applicazione inversa di $T$ si indica con il simbolo $T^-1$.
Ad ogni modo, componendo l'applicazione data con la sua inversa (e viceversa) dovresti ottenere l'identità su $RR^3$; questo è un ottimo modo per verificare se il risultato $T^-1$ ricavato sia effettivamente esatto.
Saluti.
Penso che il ragionamento sia corretto.
E' l'aspetto sintattico che andrebbe un po' curato.
L'applicazione $T$ andrebbe scritta così:
$T:RR^3 rightarrow RR^3$ con $T(x,y,z)=(x,2x+y,2y+z)$
Inoltre l'applicazione inversa di $T$ si indica con il simbolo $T^-1$.
Ad ogni modo, componendo l'applicazione data con la sua inversa (e viceversa) dovresti ottenere l'identità su $RR^3$; questo è un ottimo modo per verificare se il risultato $T^-1$ ricavato sia effettivamente esatto.
Saluti.
"alessandro8":
Ciao.
Ad ogni modo, componendo l'applicazione data con la sua inversa (e viceversa) dovresti ottenere l'identità su $RR^3$; questo è un ottimo modo per verificare se il risultato $T^-1$ ricavato sia effettivamente esatto.
Saluti.
Scusa, non ho capito come faccio a verificare.
Ciao.
Devi verificare che
${(T(T^-1(x,y,z))=(x,y,z)),(T^-1(T(x,y,z))=(x,y,z)):}$
In pratica, applicando al generico vettore $(x,y,z) in RR^3$ prima l'operatore $T^-1$ e, successivamente, applicando al risultato di questa operazione l'operatore inverso $T$ (e viceversa), ci si dovrebbe accorgere che il vettore $(x,y,z)$ non dovrebbe, complessivamente, subire alcuna trasformazione.
Provare per credere.
Spero di essermi spiegato.
Saluti.
Devi verificare che
${(T(T^-1(x,y,z))=(x,y,z)),(T^-1(T(x,y,z))=(x,y,z)):}$
In pratica, applicando al generico vettore $(x,y,z) in RR^3$ prima l'operatore $T^-1$ e, successivamente, applicando al risultato di questa operazione l'operatore inverso $T$ (e viceversa), ci si dovrebbe accorgere che il vettore $(x,y,z)$ non dovrebbe, complessivamente, subire alcuna trasformazione.
Provare per credere.
Spero di essermi spiegato.
Saluti.
Ma, se ad esempio prendo il vettore
$v = (1,0,0)$
lo passo prima nella $T^-1$ e poi il risultato nella $T$ non mi ritorna il vettore iniziale
Esempio:
$V = (1,0,0)$
$T^-1(1,0,0) = (1,-2,4)$
$T(1,-2,4) = (1,0,-8)$
Come mai non mi ritorna il vettore iniziale, cioè $(1,0,0)$?
$v = (1,0,0)$
lo passo prima nella $T^-1$ e poi il risultato nella $T$ non mi ritorna il vettore iniziale
Esempio:
$V = (1,0,0)$
$T^-1(1,0,0) = (1,-2,4)$
$T(1,-2,4) = (1,0,-8)$
Come mai non mi ritorna il vettore iniziale, cioè $(1,0,0)$?
Vero.
Significa che qualcosa non torna.
Ho provato a rifare i conti; effettivamente la matrice associata a $T^-1$ dovrebbe essere data da
$((1,0,0),(-2,1,0),(4,-2,1))$ e non da $((1,0,0),(-2,1,0),(-4,-2,1))$
C'era di mezzo un banale errore di segno in un solo coefficiente; quindi si dovrebbe avere che
$T^-1(x,y,z)=(x,-2x+y,4x-2y+z)$ è inversa di $T(x,y,z)=(x,2x+y,2y+z)$
Verifica:
1) $T(T^-1(x,y,z))=T(x,-2x+y,4x-2y+z)$
quindi
$T(T^-1(x,y,z))=(x,2x+(-2x+y),2(-2x+y)+(4x-2y+z))=(x,y,z)$
2) $T^-1(T(x,y,z))=T^-1(x,2x+y,2y+z)$
quindi
$T(T^-1(x,y,z))=(x,-2x+(2x+y),-2x+(2x+y),4x-2(2x+y)+(2y+z))=(x,y,z)$
Ora torna proprio tutto.
Saluti.
Significa che qualcosa non torna.
Ho provato a rifare i conti; effettivamente la matrice associata a $T^-1$ dovrebbe essere data da
$((1,0,0),(-2,1,0),(4,-2,1))$ e non da $((1,0,0),(-2,1,0),(-4,-2,1))$
C'era di mezzo un banale errore di segno in un solo coefficiente; quindi si dovrebbe avere che
$T^-1(x,y,z)=(x,-2x+y,4x-2y+z)$ è inversa di $T(x,y,z)=(x,2x+y,2y+z)$
Verifica:
1) $T(T^-1(x,y,z))=T(x,-2x+y,4x-2y+z)$
quindi
$T(T^-1(x,y,z))=(x,2x+(-2x+y),2(-2x+y)+(4x-2y+z))=(x,y,z)$
2) $T^-1(T(x,y,z))=T^-1(x,2x+y,2y+z)$
quindi
$T(T^-1(x,y,z))=(x,-2x+(2x+y),-2x+(2x+y),4x-2(2x+y)+(2y+z))=(x,y,z)$
Ora torna proprio tutto.
Saluti.
ok tanks
Nessun problema.
Saluti.
Saluti.
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