Matrice cambiamento di base
Ciao a tutti,
Sto risolvendo un esercizio ma non riesco a risolvere il punto riguardante la matrice di cambiamento di base, questo è l'esercizio:
Sia $F : R^3 -> R^4$ la trasformazione lineare definita da $F(x,y,z) = (x+y+z, x+y+z, x+y, x)$.
Siano $v_1 = (1,1,0)$, $v_2 = (1,0,1)$ e $v_3 = (0,1,0)$ i vettori che compongono la base $B = (v_1,v_2,v_3)$.
Determinare la matrice di cambiamento di base $M_{\epsilon_4}^B$ e la matrice $M_B^{\epsilon_4}$.
Negli altri esercizi ho sempre calcolato matrici di cambiamento appartenenti allo stesso spazio vettoriale.
Quindi ora come devo procedere?
Vi ringrazio!
Sto risolvendo un esercizio ma non riesco a risolvere il punto riguardante la matrice di cambiamento di base, questo è l'esercizio:
Sia $F : R^3 -> R^4$ la trasformazione lineare definita da $F(x,y,z) = (x+y+z, x+y+z, x+y, x)$.
Siano $v_1 = (1,1,0)$, $v_2 = (1,0,1)$ e $v_3 = (0,1,0)$ i vettori che compongono la base $B = (v_1,v_2,v_3)$.
Determinare la matrice di cambiamento di base $M_{\epsilon_4}^B$ e la matrice $M_B^{\epsilon_4}$.
Negli altri esercizi ho sempre calcolato matrici di cambiamento appartenenti allo stesso spazio vettoriale.
Quindi ora come devo procedere?
Vi ringrazio!
Risposte
"Nex89":
Sia $F : R^3 -> R^4$ la trasformazione lineare definita da $F(x,y,z) = (x+y+z, x+y+z, x+y, x)$.
Siano $v_1 = (1,1,0)$, $v_2 = (1,0,1)$ e $v_3 = (0,1,0)$ i vettori che compongono la base $B = (v_1,v_2,v_3)$.
Determinare la matrice di cambiamento di base $M_{\epsilon_4}^B$ e la matrice $M_B^{\epsilon_4}$.
Considera che queste matrici corrispondono alla matrice associata rispetto alla applicazione lineare e sono una l'inversa dell'altra.
Ok, però non riesco a capire come costruire le due matrici di cambiamento.
Secondo i miei calcoli:
$M_{\epsilon_4}^B = ((2,2,1), (2,2,1),(2,1,1), (1,1,0))$
Ma non ne sono per niente sicuro sicuro.
Secondo i miei calcoli:
$M_{\epsilon_4}^B = ((2,2,1), (2,2,1),(2,1,1), (1,1,0))$
Ma non ne sono per niente sicuro sicuro.
"Nex89":
Ok, però non riesco a capire come costruire le due matrici di cambiamento.
Devi semplicemente considerare questi passaggi:
1. Trovare le immagini del vettore di partenza
$F(v_1)=(2,2,2,1)$
$F(v_2)=(2,2,1,1)$
$F(v_3)=(1,1,1,0)$
2. Scrivere queste immagini come c.l. della base di arrivo
nel nostro caso la base di arrivo corrisponde con la base canonica quindi puoi semplimente mettere in colonna le immagini trovate al punto 1.
La matrice che hai scritto va bene.
Ora devi calcolare l'inversa di questa matrice per trovare l'altra che cercavi.
Ciao!Guarda qua(non so se ti possa essere utile)
Date due basi V=(v1,v2,v3) e W=(w1,w2,w3) di $RR^3$ per determinare la matrice di cambiamento base da V in W
si determinano le componenti della base V rispetto a quella che dovremo ottenere
$w1=av1 +bv2+cv3$
$w2=dv1+ev2+fv3$
$w3=gv1+hv2+iv3$
la matrice di cambiamento base e' quindi $M^(V,W)=((a,d,g),(b,e,h),(c,f,i))$
QUINDI
Date la matrice di un applicazione lineare rispetto alle basi $E$(base spazio partenza),$F$(base spazio arrivo) che chiameremo $M^(E,F)$
Per determinare la nuova matrice rispetto alle nuove basi $E'$, $F' $.... che chiameremo $M^(E',F')$
Data la matrice di cambiamento base da E a E' che chiameremo $P^(E,E')$
Data la matrice di cambiamento base da F a F' che chiameremo $P^(F,F')$
......E QUINDI
$M^(E',F') = (P^(F,F'))^(-1) M^(E,F) (P^(E,E'))$
Date due basi V=(v1,v2,v3) e W=(w1,w2,w3) di $RR^3$ per determinare la matrice di cambiamento base da V in W
si determinano le componenti della base V rispetto a quella che dovremo ottenere
$w1=av1 +bv2+cv3$
$w2=dv1+ev2+fv3$
$w3=gv1+hv2+iv3$
la matrice di cambiamento base e' quindi $M^(V,W)=((a,d,g),(b,e,h),(c,f,i))$
QUINDI
Date la matrice di un applicazione lineare rispetto alle basi $E$(base spazio partenza),$F$(base spazio arrivo) che chiameremo $M^(E,F)$
Per determinare la nuova matrice rispetto alle nuove basi $E'$, $F' $.... che chiameremo $M^(E',F')$
Data la matrice di cambiamento base da E a E' che chiameremo $P^(E,E')$
Data la matrice di cambiamento base da F a F' che chiameremo $P^(F,F')$
......E QUINDI
$M^(E',F') = (P^(F,F'))^(-1) M^(E,F) (P^(E,E'))$
"Samy21":
Ora devi calcolare l'inversa di questa matrice per trovare l'altra che cercavi.
Il dubbio principale che avevo riguardava proprio questo, la matrice non è quadrata quindi non è invertibile.
Da qui sono nati i vari dubbi sul calcolo della matrice di cambiamento.
Nel primo caso ho calcolato la matrice usando questo metodo:
$M_B^{\epsilon_4} = [||F(v_1)||^{\epsilon_4}, ||F(v_2)||^{\epsilon_4}, ||F(v_3)||^{\epsilon_4}]$
Che appunto mi porta a generare la matrice che ho postato prima; e fin qui ci siamo.
Per quanto riguarda $M_{\epsilon_4}^B$ invece, dato che non è invertibile e non posso calcolare l'inversa.
Devo procedere con il "calcolo manuale" della matrice di cambiamento, quindi:
$M_{\epsilon_4}^B = [||e_1||^B, ||e_2||^B, ||e_3||^B]$
Spero di essere stato abbastanza chiaro.
Grazie ancora per tutte le risposte!
Ma essendo $e_1$, $e_2$ ed $e_3 in R^4$, come posso calcolare la combinazione lineare con $B in R^3$?
Si scusami in effetti non ho notato che la matrice non era quadrata e quindi non invertibile. Stress pre esame, sorry 
Te lo cerco di spiegare il più chiaro possibile (spero).
I dati in nostro possesso del problema sono:
1. l'equazione esplicita della F (che usiamo per trovare le immagini dei vettori)
2. i vettori della base $B$
3. le immagini dei vettori della base B che ci siamo calcolati nel punto precedente dell'esercizio.
La nostra matrice associata $M^(B, \epsilon)$ deve avere come colonne le immagini dei vettori della base canonica, cioè dobbiamo calcolarci i vari $f(e_i)$, con $i=1,2,3$.
Sappiamo che:
$v_1=(1,1,0)=e_1+e_2$
$v_2=(1,0,1)=e_1 + e_3$
$v_3=(0,1,0)=e_2$
Passiamo alle immagini, cioè:
$F(e_1) + F(e_2)=F(v_1)$ $to$ $F(e_1)=(1,1,1,1)$
$F(e_1) + F(e_3)=F(v_2)$ $to$ $F(e_3)=(1,1,0,0)$
$F(e_2)=F(v_3)=(0,1,0)$
Adesso dobbiamo solo metterli in una matrice, cioè
$M^(B,\epsilon)=((1,1,1),(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0))$
Dato che la nostra funzione di partenza era $RR^3 to RR^4$ abbiamo ottenuto una matrice associata con 4 righe e 3 colonne.
Spero sia tutto chiaro e, soprattutto, tutto corretto .
"Nex89":
Ma essendo $e_1$, $e_2$ ed $e_3 in R^4$, come posso calcolare la combinazione lineare con $B in R^3$?
Te lo cerco di spiegare il più chiaro possibile (spero).
I dati in nostro possesso del problema sono:
1. l'equazione esplicita della F (che usiamo per trovare le immagini dei vettori)
2. i vettori della base $B$
3. le immagini dei vettori della base B che ci siamo calcolati nel punto precedente dell'esercizio.
La nostra matrice associata $M^(B, \epsilon)$ deve avere come colonne le immagini dei vettori della base canonica, cioè dobbiamo calcolarci i vari $f(e_i)$, con $i=1,2,3$.
Sappiamo che:
$v_1=(1,1,0)=e_1+e_2$
$v_2=(1,0,1)=e_1 + e_3$
$v_3=(0,1,0)=e_2$
Passiamo alle immagini, cioè:
$F(e_1) + F(e_2)=F(v_1)$ $to$ $F(e_1)=(1,1,1,1)$
$F(e_1) + F(e_3)=F(v_2)$ $to$ $F(e_3)=(1,1,0,0)$
$F(e_2)=F(v_3)=(0,1,0)$
Adesso dobbiamo solo metterli in una matrice, cioè
$M^(B,\epsilon)=((1,1,1),(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0))$
Dato che la nostra funzione di partenza era $RR^3 to RR^4$ abbiamo ottenuto una matrice associata con 4 righe e 3 colonne.
Spero sia tutto chiaro e, soprattutto, tutto corretto
.
Credo di aver capito tutto! Ora provo a fare altri esercizi e vedo se è effettivamente così...
Grazie infinite Samy21!
Grazie infinite Samy21!
Son felice di esserti stata utile!
Ciao e buono studio!
Ciao e buono studio!
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