Equazione piano contenente due punti e parallelo a $vec(v)$

shiva28 · 2015-06-12CEST11:21:47+02:00

"Buongiorno,\n\nRichiesta\nTrovare l'equazione parametrica del piano $pi$ contenente i punti $A=( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) )$ , $ B=( ( 2 ),( 0 ),( 2 ) ) $ e parallelo al vettore $vec(v)=hat(i) +hat(j)+hat(k)$.\n\n\n\nSoluzione\n\nIl piano nello spazio \u00e8 definito come lo $Span(vec(u_1),vec(u_2))$, dove $vec(u_1)$ e $vec(u_2)$ sono due vettori linearmente indipendenti.\nPer avere un piano parallelo al vettore $vec(v)$, impongo che un vettore dei due generatori del piano sia proprio uguale a $vec(v)$.\n\n$vec(u_2)=vec(v)=hat(i) +hat(j)+hat(k)=( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) )$\n\n\nl'altro generatore $vec(u_1)$, \u00e8 la direzione della retta passante per i due punti $A$ e $B$.\n\n$vec(u_1)=vec(AB)=B-A=( ( 1 ),( -1 ),( 1 ) )$\n\n\nQuindi posso affermare che un'equazione parametrica del piano \u00e8 la seguente:\n\n$pi(alpha,beta)=A+alpha \\ vec(AB)+beta \\ vec(v)=( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) ) +alpha \\ ( ( 1 ),( -1 ),( 1 ) ) +beta \\ ( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) ) \\quad\\quad\\quad\\quad\\quad\\quad\\quad alpha,beta in mathbb(R) $\n\n\n\nE' corretto il mio ragionamento?\n\nSaluti"

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shiva28

12 giu 2015, 11:21

Buongiorno,

Richiesta
Trovare l'equazione parametrica del piano $pi$ contenente i punti $A=( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) )$ , $ B=( ( 2 ),( 0 ),( 2 ) ) $ e parallelo al vettore $vec(v)=hat(i) +hat(j)+hat(k)$.

Soluzione

Il piano nello spazio è definito come lo $Span(vec(u_1),vec(u_2))$, dove $vec(u_1)$ e $vec(u_2)$ sono due vettori linearmente indipendenti.
Per avere un piano parallelo al vettore $vec(v)$, impongo che un vettore dei due generatori del piano sia proprio uguale a $vec(v)$.

$vec(u_2)=vec(v)=hat(i) +hat(j)+hat(k)=( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) )$

l'altro generatore $vec(u_1)$, è la direzione della retta passante per i due punti $A$ e $B$.

$vec(u_1)=vec(AB)=B-A=( ( 1 ),( -1 ),( 1 ) )$

Quindi posso affermare che un'equazione parametrica del piano è la seguente:

$pi(alpha,beta)=A+alpha \ vec(AB)+beta \ vec(v)=( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) ) +alpha \ ( ( 1 ),( -1 ),( 1 ) ) +beta \ ( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) ) \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad alpha,beta in mathbb(R) $

E' corretto il mio ragionamento?

Saluti