Dimensone spazio soluzioni

[mark930]

Salve, ho il seguente sistema lineare:

\[\large \left\{\begin{matrix} x + y + z = 1 \\ x + y + 2z = 0 \\ 2x + 2y +3z = -1 \end{matrix}\right.\]

Lo risolvo con il metodo di Gauss ed hottengo la seguente soluzione

\[\large SOL = (-2-h,h,1) : h\in R)\] ( non mi fa mettere le graffe)

Per il teorema di R. Capelli sappiamo che lo spazio affine delle soluzione ha dimensione

$m - r$

$m$ è ilnumero di variabili
$r$ è il rango della matrice associata al sistema lineare

In questo caso il rango è $2$, le variabili sono $3 (x,y,z)$

qundi $3-2 = 1 $

Quindi la dimensione dovrebbe essere uno.

Ma allora perchè riesco a trovare due vettori indipendenti in quel sottospazio?

Esempio:

\[\large SOL = (-2-h,h,1) : h\in R)\]

Se pongo $h = 1$, viene

$(-3,1,1)$

Se pongo $h = 0$ viene

$(-2,0,1)$

Dove sbaglio?

[dissonance]

Da nessuna parte. Il tuo sistema non è omogeneo, quindi le sue soluzioni non formano un sottospazio vettoriale (ma un sottospazio affine).

[mark930]

Ok, ma come fai a vedere che non è omogeneo?

[Samy211]

"marco123":Ok, ma come fai a vedere che non è omogeneo?

I termini noti non sono tutti uguali a 0.

[mark930]

Ok, grazie