Vettori con numeri complessi
Un esercizio di un vecchio tema d'esame è il seguente. Non saprei come cominciare
Sia $ C^2 $ lo spazio vettoriale delle coppie ordinate di numeri complessi $ (alpha ,beta ) $ con $ alpha ,beta in C $ e U il sotto spazio delle coppie ordinate $ (alpha ,beta ) in C^2 $ tali che $ alpha +beta in R $. Calcolare la dimensione e una base di U.
Grazie a chi mi aiuterà!
Sia $ C^2 $ lo spazio vettoriale delle coppie ordinate di numeri complessi $ (alpha ,beta ) $ con $ alpha ,beta in C $ e U il sotto spazio delle coppie ordinate $ (alpha ,beta ) in C^2 $ tali che $ alpha +beta in R $. Calcolare la dimensione e una base di U.
Grazie a chi mi aiuterà!
Risposte
Se stai cercando la dimensione come sottospazio complesso, sappi che non lo è 
Infatti se $\alpha + \beta \in \mathbb{R}$ allora $\lambda(\alpha + \beta)$ non è necessariamente reale quando $\lambda$ è complesso.
Ciononostante è un sottospazio reale. Se identifichiamo $\mathbb{C}^2$ con $\mathbb{R}^4$ tramite l'ovvia identificazione $\alpha_1 + \i \alpha_2 \leftrightarrow (\alpha_1,\alpha_2)$, otteni che quello che stai cercando è il sottospazio dei vettori $(\alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2)$ tali che $\alpha_2 + \beta_2 =0$. Questo dovrebbe aiutarti a capire che dimensione ha
Infatti se $\alpha + \beta \in \mathbb{R}$ allora $\lambda(\alpha + \beta)$ non è necessariamente reale quando $\lambda$ è complesso.Ciononostante è un sottospazio reale. Se identifichiamo $\mathbb{C}^2$ con $\mathbb{R}^4$ tramite l'ovvia identificazione $\alpha_1 + \i \alpha_2 \leftrightarrow (\alpha_1,\alpha_2)$, otteni che quello che stai cercando è il sottospazio dei vettori $(\alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2)$ tali che $\alpha_2 + \beta_2 =0$. Questo dovrebbe aiutarti a capire che dimensione ha
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