Significato Matematico e Fisico di un Tensore di Rango 3
Salve,dopo che ho ritrovato i tensori un po' ovunque in matematica e in fisica,mi è venuto un dubbio:
"Se un tensore di rango 0 lo posso considerare come uno scalare,se è di rango 1 posso considerarlo come un vettore, se è di rango 2 lo posso considerare come matrice(che vengono usate ampiamente per indicare sistemi di equazioni),dal rango 3 in su come posso considerarli da un punto di vista si matematico che fisico e quando vengono utilizzati?"
Se non vi reca disturbo,potreste rispondere alla mia domanda?
"Se un tensore di rango 0 lo posso considerare come uno scalare,se è di rango 1 posso considerarlo come un vettore, se è di rango 2 lo posso considerare come matrice(che vengono usate ampiamente per indicare sistemi di equazioni),dal rango 3 in su come posso considerarli da un punto di vista si matematico che fisico e quando vengono utilizzati?"
Se non vi reca disturbo,potreste rispondere alla mia domanda?
Risposte
Dal rango 3 in poi li puoi pensare come array multidimensionali. Vengono usati, ad esempio, per definire la curvatura delle varietà differenziabili, che viene utilizzata nella relatività generale. Un altro esempio sono le forme differenziali che sono tensori alternati e sono legati a concetti di "volume" su varietà differenziabili. Ad esempio, la lunghezza di una curva, l'area di una superficie e, oltre al rango 2, di ipersuperfici.
Grazie per la risposta,ti dispiacerebbe spiegarmi anche cosa vuol dire array multidimensionali e come calcolare lunghezza,area e volume con le forme differenziali?
Un array multidimensionale è semplicemente un oggetto che dipende da più indici. Un vettore dipende da 1, una matrice dipende da 2, un tensore di rango 3 dipende da 3, ecc. Così come una matrice la puoi immaginare come una tabella a due entrate, un tensore di rango 3 lo puoi immaginare come un "cubetto" a tre entrate che ha numeri disposti lungo le tre direzioni, in accordo con gli indici. Ovviamente, non puoi visualizzare i tensori di rango superiore in questo modo.
Per quanto riguarda la seconda domanda, ti invito a cercare "integrazione su varietà differenziabili" o "integrazione di forme differenziali" se ti interessa studiare l'argomento, perché è un po' vasto per essere esaurito in un semplice post. Ciononostante, se ti interessa come si risolve il calcolo praticamente, quello che si fa è sempre esprimere le parametrizzazioni locali delle varietà differenziabili e calcolare gli integrali lungo quelle parametrizzazioni. E' quello che fai quando calcoli un integrale superficiale su una sfera, ad esempio, o un integrale curvilineo su una circonferenza.
Per quanto riguarda la seconda domanda, ti invito a cercare "integrazione su varietà differenziabili" o "integrazione di forme differenziali" se ti interessa studiare l'argomento, perché è un po' vasto per essere esaurito in un semplice post. Ciononostante, se ti interessa come si risolve il calcolo praticamente, quello che si fa è sempre esprimere le parametrizzazioni locali delle varietà differenziabili e calcolare gli integrali lungo quelle parametrizzazioni. E' quello che fai quando calcoli un integrale superficiale su una sfera, ad esempio, o un integrale curvilineo su una circonferenza.
Grazie.Il dubbio che mi rimane,e che se non ti infastidisce vorrei ce mi togliessi è questo:
"Le matrici possono essere usate per rappresentare un sistema fisico che varia nel tempo,ma ad esempio,un tensore di rango 3 come posso utilizzarlo ?"
"Le matrici possono essere usate per rappresentare un sistema fisico che varia nel tempo,ma ad esempio,un tensore di rango 3 come posso utilizzarlo ?"
Non dev'essere necessariamente variabile nel tempo. Lo è se la matrice dipende dal tempo. Quello che è importante è che dipende da due indici. Ad esempio il tensore di inerzia dipende da $i$ e $j$ dove entrambi possono indicare una delle tre direzioni $x,y,z$. Un altro esempio è il tensore metrico: in ogni punto hai una forma bilineare (quindi dipendenza da due indici) e perciò hai bisogno di una matrice per scriverlo. Il concetto è lo stesso però quando hai dipendenza da 3 o più indici.
L'unico esempio che mi viene in mente in fisica è il tensore di Riemann, che è utilizzato per esprimere la curvatura dello spazio-tempo, ed è di rango 4. Osserva che però esistono altri modi di esprimere la curvatura e sono: la curvatura scalare e il tensore di Ricci (che ha rango 2).
L'unico esempio che mi viene in mente in fisica è il tensore di Riemann, che è utilizzato per esprimere la curvatura dello spazio-tempo, ed è di rango 4. Osserva che però esistono altri modi di esprimere la curvatura e sono: la curvatura scalare e il tensore di Ricci (che ha rango 2).
ok,ma quand'è che un sistema dipende da 2 indici e quando che ne dipende da 3 o piu?
Dipende dalla situazione, non è che c'è una regola generale. O forse non mi è chiaro cosa vuoi sapere veramente.
Se vuoi pensare a un esempio, pensa al tensore metrico (se lo conosci). Ti dovrebbe essere abbastanza chiaro perché è di rango 2: a ogni punto dello spazio si associa una metrica nello spazio tangente. Ma una metrica ammette due "input", perciò ho bisogno di due indici per rappresentarla (pensala rappresentata in coordinate rispetto a una base, se ancora non ti è chiaro: a quel punto hai bisogno di sapere quanto vale su tutte le coppie $(v_i,v_j)$).
Allo stessso modo, ci sono situazioni in cui è necessario considerare le triplette ecc. Ad esempio per il tensore di Riemann hai bisogno di 4 indici. Ma devi andare a vedere come è definito per capirne il perché.
Inoltre, in questa discussione non stiamo distinguendo tra tensore e campo tensoriale. Un tensore è semplicemente un oggetto che dipende da vari indici. Un campo tensoriale è un'applicazione che a ogni punto dello spazio associa un tensore. Un esempio semplice di questo è una matrice e una matrice che dipende dalle coordinate $(x,y,z)$.
Ovviamente puoi anche pensare a un tensore come a un campo tensoriale costante in ogni punto.
Se vuoi pensare a un esempio, pensa al tensore metrico (se lo conosci). Ti dovrebbe essere abbastanza chiaro perché è di rango 2: a ogni punto dello spazio si associa una metrica nello spazio tangente. Ma una metrica ammette due "input", perciò ho bisogno di due indici per rappresentarla (pensala rappresentata in coordinate rispetto a una base, se ancora non ti è chiaro: a quel punto hai bisogno di sapere quanto vale su tutte le coppie $(v_i,v_j)$).
Allo stessso modo, ci sono situazioni in cui è necessario considerare le triplette ecc. Ad esempio per il tensore di Riemann hai bisogno di 4 indici. Ma devi andare a vedere come è definito per capirne il perché.
Inoltre, in questa discussione non stiamo distinguendo tra tensore e campo tensoriale. Un tensore è semplicemente un oggetto che dipende da vari indici. Un campo tensoriale è un'applicazione che a ogni punto dello spazio associa un tensore. Un esempio semplice di questo è una matrice e una matrice che dipende dalle coordinate $(x,y,z)$.
Ovviamente puoi anche pensare a un tensore come a un campo tensoriale costante in ogni punto.
Se ho capito bene,se posso rappresentare un tensore con dei vettori esso è del rango 2,mentre se per rappresentarlo uso dei bi-vettori,il tensore è di rango 3 giusto?
vettore -> tensore di rango 1
matrice -> tensore di rango 2
Con bivettore, se non erro, si indica un tensore alternato di rango 2 (i.e. $a \wedge b$), che può essere rappresentato da una matrice antisimmetrica.
matrice -> tensore di rango 2
Con bivettore, se non erro, si indica un tensore alternato di rango 2 (i.e. $a \wedge b$), che può essere rappresentato da una matrice antisimmetrica.
Scusa ma allora in che senso ci vogliono due "input" per definire una metrica,cosa sarebbero questi "input"?
Scusa se ti faccio queste domande ma io di tensori non ci capisco e non ci ho mai capito niente,so solo come usare il tensore metrico per calcolare le geodetiche,né di piu né di meno.
Mi sono dimenticato di dire un cosa,facendo un po di ricerche trovai scritto che così come le matrici possono rappresentare l'evoluzione di un sistema in funzione del tempo(sempre se la matrice dipende dal tempo),un tensore di rango 3 poteva rappresentare l'evoluzione del sistema non piu al variare del tempo,ma bensì alla variazione della funzione del tempo(in pratica rispetto a un funzionale).Ci tengo a dire che questa fonte non è sicura,quindi io non so se sia giusta o meno come affermazione,tu che ne dici?
Ti ringrazio per tutti gli aiuti che mi stai dando
Scusa se ti faccio queste domande ma io di tensori non ci capisco e non ci ho mai capito niente,so solo come usare il tensore metrico per calcolare le geodetiche,né di piu né di meno.
Mi sono dimenticato di dire un cosa,facendo un po di ricerche trovai scritto che così come le matrici possono rappresentare l'evoluzione di un sistema in funzione del tempo(sempre se la matrice dipende dal tempo),un tensore di rango 3 poteva rappresentare l'evoluzione del sistema non piu al variare del tempo,ma bensì alla variazione della funzione del tempo(in pratica rispetto a un funzionale).Ci tengo a dire che questa fonte non è sicura,quindi io non so se sia giusta o meno come affermazione,tu che ne dici?
Ti ringrazio per tutti gli aiuti che mi stai dando
Mmh sinceramente non ho capito l'ultima affermazione. Però, per quanto riguarda la metrica, sai che in ogni punto è definita da una funzione bilineare $f(v_1,v_2)$. Come posso determinare univocamente $f$? Scrivendo $v_1 = \sum_i \alpha_i v^i$ e $v_2 = sum_j \beta_j v^j$. Allora $$ f= \sum_{i,j} \alpha_i \beta_j f(v^i, v^j)$$
Osserva che $\alpha_i$ e $\beta_j$ sono soltanto le coordinate dei vettori $v$ e $w$. Ciò che determina univocamente la forma bilineare sono i coefficienti $R_{ij} = f(v^i,v^j)$ che formano una matrice (tensore di rango 2), perché dipendono da due indici. Perciò i tensori[nota]Non tutti in realtà, solo quelli covarianti. Quelli contravarianti descriverebbero una forma bilineare sullo spazio duale, ma se non sai la differenza tra covariante e contravariante, per ora, ignora questa nota.[/nota] di rango 2 descrivono naturalmente una metrica in un punto perché sono oggetti che dipendono da due indici (infatti puoi anche definire i tensori come applicazioni multilineari).
Allo stesso modo altre nozioni, come la curvatura di Riemann, hanno bisogno di più indici per essere descritte e quindi l'oggetto che li descrive è un tensore di rango superiore (4 nel caso del tensore curvatura di Riemann).
Osserva che $\alpha_i$ e $\beta_j$ sono soltanto le coordinate dei vettori $v$ e $w$. Ciò che determina univocamente la forma bilineare sono i coefficienti $R_{ij} = f(v^i,v^j)$ che formano una matrice (tensore di rango 2), perché dipendono da due indici. Perciò i tensori[nota]Non tutti in realtà, solo quelli covarianti. Quelli contravarianti descriverebbero una forma bilineare sullo spazio duale, ma se non sai la differenza tra covariante e contravariante, per ora, ignora questa nota.[/nota] di rango 2 descrivono naturalmente una metrica in un punto perché sono oggetti che dipendono da due indici (infatti puoi anche definire i tensori come applicazioni multilineari).
Allo stesso modo altre nozioni, come la curvatura di Riemann, hanno bisogno di più indici per essere descritte e quindi l'oggetto che li descrive è un tensore di rango superiore (4 nel caso del tensore curvatura di Riemann).
Quindi se io volessi descrivere la metrica,non in un punto,ma lungo una curva,dovrei usare un tensore di rango 3 e su una superficie dovrei usare un tensore di rango 4 ?
No, quello di cui parli è un campo tensoriale. Una metrica è definita punto per punto (sullo spazio tangente in quel punto più precisamente). Quindi in sostanza, in ogni punto hai un tensore diverso, i.e. i coefficienti, quando scrivi tutto in coordiate locali, non sono gli stessi ma dipendono dalle coordinate. Quindi in ogni punto hai un $R_{i,j}(x)$, dove $x$ è un certo vettore di coordinate. Quante componenti ha $x$ ti dice su che varietà stai lavorando: 1 coordinata per una curva, 2 coordiante per una superficie e così via. Ma il tensore, in ogni punto, dipende sempre da due indici, perciò ha comunque rango 2.
Credo di star facendo molta confusione,non riesco proprio a capire a cosa si riferiscono gli indici,sono vettori di coordinate?
o qualche altra cosa?
Sempre se non ti reca disturbo,potresti rispondere?
p.s:per quanto riguarda l'affermazione di prima:
mi stavo riferendo ai sistemi di tempo invarianti.
o qualche altra cosa?
Sempre se non ti reca disturbo,potresti rispondere?
p.s:per quanto riguarda l'affermazione di prima:
"mklplo":
un tensore di rango 3 poteva rappresentare l'evoluzione del sistema non piu al variare del tempo,ma bensì alla variazione della funzione del tempo(in pratica rispetto a un funzionale).Ci tengo a dire che questa fonte non è sicura,quindi io non so se sia giusta o meno come affermazione,tu che ne dici?
Ti ringrazio per tutti gli aiuti che mi stai dando
mi stavo riferendo ai sistemi di tempo invarianti.
No, no, il vettore di coordinate è $x$ e, in un certo sistema di riferimento, identifica il punto della varietà. Gli indici $i,j$ esprimono soltanto il fatto che la metrica è univocamente determinata dai suoi valori lungo le coppie $(v^i,v^j)$ formate dai vettori della base. Significa che per conoscere la metrica ti basta conoscere quei valori che dipendono da due indici $i$ e $j$ (perché stai considerando una coppia, altrimenti sarebbero più indici). Perciò l'oggetto che le descrive naturalmente è un oggetto che dipende da due indici e che si chiama tensore. Tutto qua.
Per l'affermazione di prima, come ho detto, non ne colgo il senso sinceramente, quindi non so risponderti.
Per l'affermazione di prima, come ho detto, non ne colgo il senso sinceramente, quindi non so risponderti.
Penso di non aver esposto bene il mio dubbio,non capisco cosa siano le coppie $(v^i,v^j)$ in senso ,che poichè io non ho alcuna familiarità con l'algebra lineare,non so che cosa si intenda per coppie di valori,non so neanche cosa siano quei valori
Rileggi bene quello che ho scritto: la metrica è univocamente determinata dai suoi valori lungo le coppie di vettori della base.
Dati due vettori (dello spazio tangente), la metrica in quel punto è $f(v,w)$. Per quanto scritto sopra, però, per sapere questo valore mi basta sapere tutti i valori $f(v^i,v^j)$, che chiamo $R_{ij}$. Perciò la metrica è univocamente determinata dalla matrice $R_{ij}$ in quel punto.
Questo era solo per farti un esempio e spiegarti il perché una metrica ha bisogno di un tensore di rango 2 per essere rappresentata. Ma non vuol dire che ogni tensore abbia alle "sue spalle" una coppia di vettori della base dello spazio tangente. Un tensore è solo un oggetto che viene rappresentato con più indici. Così come un vettore si rappresenta con uno, una matrice con due, un tensore di rango superiore si rappresenta con più indici. In alcune situazioni, è comodo rappresentare le cose in quel modo (come nel caso della metrica) e quindi si utilizzano i tensori. Tutto qui.
Dati due vettori (dello spazio tangente), la metrica in quel punto è $f(v,w)$. Per quanto scritto sopra, però, per sapere questo valore mi basta sapere tutti i valori $f(v^i,v^j)$, che chiamo $R_{ij}$. Perciò la metrica è univocamente determinata dalla matrice $R_{ij}$ in quel punto.
Questo era solo per farti un esempio e spiegarti il perché una metrica ha bisogno di un tensore di rango 2 per essere rappresentata. Ma non vuol dire che ogni tensore abbia alle "sue spalle" una coppia di vettori della base dello spazio tangente. Un tensore è solo un oggetto che viene rappresentato con più indici. Così come un vettore si rappresenta con uno, una matrice con due, un tensore di rango superiore si rappresenta con più indici. In alcune situazioni, è comodo rappresentare le cose in quel modo (come nel caso della metrica) e quindi si utilizzano i tensori. Tutto qui.
Va bene,grazie
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