Composizione di Applicazione lineare

[Danying]

Salve
Non riesco a ricordare la soluzione di esercizi su composizione di applicazioni;
nello specifico questo semplicissimo ;

sia $f : RR^2 -> RR^3 : F(x,y) = ( x-2y, x-y, x+y) $

ED

$ g: RR^3->RR^2 g(x,y,z) = (x+y , x-y ) $

trovare f o g ;

$(f o g ) = f(g(x,y,z)) = (x+y−2x+2y, 2x, 2x) $

non capisco come sia arrivato a questo vettore !

Mi basterebbe capire come ragionare anche per la sola coordinata $x+y−2x+2y$

grazie

[anto_zoolander]

Ti mostro questo procedimento. Fisso le basi canoniche e trovo le matrici associate.

$A_f=((1,-2),(1,-1),(1,1))$

$A_g=((1,1,0),(1,-1,0))$

Considero $(fcircg)(v)=f(g(v))=f(A_gv)=(A_fA_g)v$

$A_fA_g=((1,-2),(1,-1),(1,1))((1,1,0),(1,-1,0))=((-1,3,0),(0,2,0),(2,0,0))$

Dunque $((-1,3,0),(0,2,0),(2,0,0))((x),(y),(z))=(-x+3y,2y,2x)$

Diciamo che se due funzioni $f,g$ si possono comporre, allora

$A_(fcircg)=A_f*A_g$

Allo stesso modo

$A_(f+lambdag)=A_f+lambdaA_g$

Mettersi a fare i conti è piuttosto deleterio...

considero $f(x,y)=(x-2y,x-y,x+y)$ e $g(x,y,z)=(x+y,x-y)$

$f(g(x,y,z))=f(x+y,x-y)=((x+y)-2(x-y),(x+y)-(x-y),(x+y)+(x-y))=(-x+3y,2y,2x)$

Naturalmente puoi scegliere qualsiasi base, trovare le matrici, fare il prodotto tra le matrici, moltiplicarla per un vettore colonna, e tornare al vettore iniziale moltiplicando componente per vettore della base.

[Danying]

Grazie Mille , gentilissimo e chiaro come sempre !

ps: Diciamo che quello con le matrici è il metodo generale e lo sviluppo meccanico invece è "facilitato" dal fatto che le applicazioni sono definite tipo f(x,y,z) = ( ax ,by, cz )


Giusto ?

[anto_zoolander]

Figurati

Si considera che il metodo matriciale è quello più conveniente, veloce se vogliamo o senza problemi di grandi errori di calcolo.
Mentre quando non hai le matrici, devi considerare che,

$f(x+y,x-y)$ i valori $x+y$ e $x-y$ sono quelli che devi andare a sostituire nella tua composizione.
Magari per evitare confusione puoi considera $p=x+y$ e $q=x-y$ prendendo $f(p,q)=(p-2q,p-q,p+q)$ e poi sostituire.