Sottospazio unione,somma, supplementare

[Vicia]

Buon pomeriggio a tutti, vorrei chiedere dei chiarimenti su quest'esercizio oggetto di esame:
" Siano $A=((3 ,1),(−1, 2))$ e $B=((2, 1),(0 ,−1))$ due matrici di $M_2(RR)$ .
Siano $U = {X in M_2(RR) : AX = XA}$ e $W =((a, b),(c, d )) in M_2(RR) : 2a + 3d = 0$.
1) Verificare che U è un sottospazio vettoriale di $M_2(RR)$; determinare una base e la dimensione di U e W.
2)Calcolare $U ∩W $e $U +W$ e determinarne una base e la dimensione. $U ∪W$ è un sottospazio vettoriale di $M_2(RR)$?
3) Determinare un sottospazio supplementare di $ U+ $

Come procedo nell'individuare il sottospazio somma e il sottospazio unione?
Per il punto 3, come devo procede?
Grazie in anticipo

[anto_zoolander]

$UcupW$?

[cooper1]

in realtà non so se ho ben capito le richieste del testo e i tuoi dubbi, però provo lo stesso a risponderti.

"Vicia":Come procedo nell'individuare il sottospazio somma

intendi come calcolare una sua base? se si considera il sistema omogeneo associato formato da tutte le equazioni che definiscono i due sottospazi

"Vicia": sottospazio unione

l'unione non è in generale un sottospazio. chiede di verificarlo?

"Vicia":Per il punto 3, come devo procede?

con $$ intendi il sottospazio generato dai due?
io comunque calcolerei una base di quel sottospazio e la completerei ad una base di $M_2 (RR)$. il sottospazio che cerchi direi essere generato dalle matrici che completano la base.

[anto_zoolander]

@cooper
L'unione di due sottospazi, in generale, non è un sottospazio.

[cooper1]

si lo stavo correggendo mentre lo inviavo.
c'è però da dire che in "generale". potrebbe essere questo un caso dove lo sia e chiede di verificarlo

[anto_zoolander]

Ah scusami
Diciamo che il testo non comporta ambiguità, però il titolo parecchie. Vi lascio

[Vicia]

Si lo so che in generale non lo è, però comunque può accadere che risulti sottospazio. Per verificarlo come devo fare?
I primi punti li ho risolti, ed ho trovato sia una base di U che una base di W. Ora per il sottospazio somma, essendo di dimensione 4, avevo pensato di prendere come base la base canonica, va bene così, oppure è totalmente sbagliato?
Per il sottospazio unione, ho unito i vettori delle basi, così ho visto che $UUW$ è formato da 5 vettori, ho effettuato la combinazione lineare per verificare se sono linearmente dipendenti o meno, ed ho verificato che i vettori sono linearmente dipendenti, quindi concludo che l'unione dei due sottospazi è sottospazio vettoriale. Giusto il ragionamento?
Per quanto riguarda $U+$ ho individuato prima in sottospazio generato dalle due matrici, e visto che A e B sono linearmente indipendenti, e successivamente ho unito i vettori della base U con il sottospazio generato $$ e verificato se i vettori erano linearmente indipendenti. Ho visto che erano linearmente indipendenti e quindi ho concluso che $U+$ è sottospazio supplementare di $M_2(RR)$ essendo anche che l'intersezione è nulla.
Spero di essermi spiegata

[cooper1]

"anto_zoolander":Ah scusami

ma figurati!
ritornando all'argomento.. bho non saprei bene come procedere. potresti calcolare la base dei due sottospazi che lo formano e come unione prendere il sottospazio generato dalle basi. poi verifichi le condizioni di sottospazio.

[cooper1]

"Vicia":Ora per il sottospazio somma, essendo di dimensione 4, avevo pensato di prendere come base la base canonica, va bene così, oppure è totalmente sbagliato?

in base a cosa dici che ha dimensione 4? procedi come ti ho spiegato nell'altro post.

"Vicia":Per il sottospazio unione, ho unito i vettori delle basi, così ho visto che UUW è formato da 5 vettori, ho effettuato la combinazione lineare per verificare se sono linearmente dipendenti o meno, ed ho verificato che i vettori sono linearmente dipendenti, quindi concludo che l'unione dei due sottospazi è sottospazio vettoriale. Giusto il ragionamento?

ho già espresso la mia opinione. detto questo per verificare che è un sottospazio perchè vedi se sono l.i. o meno? le condizioni che definiscono un sottospazio che io sappia sono altre...

"Vicia":Per quanto riguarda U+ ho individuato prima in sottospazio generato dalle due matrici, e visto che A e B sono linearmente indipendenti, e successivamente ho unito i vettori della base U con il sottospazio generato e verificato se i vettori erano linearmente indipendenti. Ho visto che erano linearmente indipendenti e quindi ho concluso che U+ è sottospazio supplementare di M2(R) essendo anche che l'intersezione è nulla.

stesso commento dell'unione. detto questo se trovassi che quel sottospazio ha dimensione 4 mi verrebbe da dire che non esiste un sottospazio supplementare.

[Vicia]

"cooper":
in base a cosa dici che ha dimensione 4? procedi come ti ho spiegato nell'altro post.

Ha dimensione 4 perchè ho individuato il sottospazio intersezione mettendo a sistema le relazioni dello spazio U e dello spazio W, trovando così che la dimensione di $UnnW$ è 1(dipende da un solo parametro), e dalla relazione di Grassman, essendo$ dimU=2 $e $dim W=3 $ ottengo che la dimensione di $U+W$ è 4.

ho già espresso la mia opinione. detto questo per verificare che è un sottospazio perchè vedi se sono l.i. o meno? le condizioni che definiscono un sottospazio che io sappia sono altre...

Ho verificato la lineare dipendenza per vedere se i vettori erano linearmente dipendenti e quindi per vedere se quella era una base o meno di $UUW$ . Lo so che per verificare se è sottospazio si deve verificare la stabilità rispetto la somma ed il prodotto.

stesso commento dell'unione. detto questo se trovassi che quel sottospazio ha dimensione 4 mi verrebbe da dire che non esiste un sottospazio supplementare.

Perchè? Sottospazio supplementare non si intende un sottospazio che genera tutto lo spazio vettoriale e che abbia intersezione nulla?

[anto_zoolander]

Devi vedere se $UcupW={v inV:v inU vee v inU}$ è un sottospazio di $V$

Ora se $u$ appartiene soltanto a $U$ e $w$ appartiene soltanto a $W$ di fatto appartiene a $UcupW$ ma $u+w$ non vi appartiene poiché $u+w$ non appartiene ne a $W$ ne a $U$.
Pertanto poiché $UcupW$ deve essere chiuso rispetto alla somma intanto, per ogni vettore dell'insieme Unione, la somma deve stare ancora dentro. Quindi i vettori soltanto di $U$ o soltanto di $W$ non li dobbiamo prendere in considerazione.

Se $W=U$ allora $WcupU$ è un sottospazio vettoriale.

Non so se ci siano altri casi e ho buttato giù queste due righe adesso, però in questo caso secondo me è meglio affrontare il problema da un punto di vista 'generale' più che particolare.

[cooper1]

"Vicia":Ha dimensione 4 perchè ho individuato il sottospazio intersezione mettendo a sistema le relazioni dello spazio U e dello spazio W, trovando così che la dimensione di U∩W è 1(dipende da un solo parametro), e dalla relazione di Grassman, essendodimU=2e dimW=3 ottengo che la dimensione di U+W è 4.

ed allora in questo caso la dimensione è corretta. ma la base non puoi considerare la canonica. devi considerare come sono fatti i sottospazi che formano la somma e lavorare su quelli per trovare la base.

"Vicia":Ho verificato la lineare dipendenza per vedere se i vettori erano linearmente dipendenti e quindi per vedere se quella era una base o meno di UUW

ok ma da qui poi concludi che sia sottospazio, non capisco perchè. devi verificare (come ha fatto anto_zoolander) in base alla definizione di sottospazio.

"Vicia":Perchè? Sottospazio supplementare non si intende un sottospazio che genera tutto lo spazio vettoriale e che abbia intersezione nulla?

ho fatto questo ragionamento.
un sottospazio S si dice supplementare se $A + S =M_2$ e se $A nn S = {0}$ dove con A ho indicato il tuo sottospazio (cioè se sono in somma diretta).
se trovo che A ha dimensione 4 allora $dim(A+S)=dimA +dimS =4$ che è già la dimensione di $M_2$. vuol quindi dire che la dimensione di S deve essere 0?
non so se sia corretto, ho solo espresso la mia opinione..

[Vicia]

Per l'ultimo punto gli spazi in questione sono U e , dove u ha dimensione 2 e ha dimensione anche due(definito dato che ho visto che A e B sono linearmente indipendenti). Quindi $dimU+=dimU+ dim - dimUnn$. Quindi in teoria 4. Non so poi se è sbagliato.

Considerando ad esempio $B_U={(1,0,0,0),(0,0,0,1)}$ (ho considerato vettori a caso) e $B_W={(1,0,2,0),(0,0,1,0),(0,0,0,3)}$ (anche qui vettori a caso), come lo troveresti tu una base di U+W?

Per l'unione forse ho capito.

[cooper1]

purtroppo non ho modo di controllarti i calcoli mi spiace! se quella è la dimensione io concluderei che non esiste però non saprei giusto quale sia la risposta. se non ha dimensione 4 completerei ad una base di $M_2$ la base di $U +$

"Vicia":Considerando ad esempio BU={(1,0,0,0),(0,0,0,1)} (ho considerato vettori a caso) e BW={(1,0,2,0),(0,0,1,0),(0,0,0,3)} (anche qui vettori a caso), come lo troveresti tu una base di U+W?

se il sottospazi erano definiti da sistemi di generatori allori consideri ala matrice formata dall'unione delle basi e riduci con Gauss: i vettori colonna della matrice non ridotta che corrispondono alle colonne dei pivot sono una base della somma
se i sottospazi erano formati da equazioni cartesiane consideri un sistema omogeneo con tutte le equazioni che definiscono i sottospazi e da questo ne estrai una base.

[Vicia]

Va bene, grazie