Applicazione continua
Sia $RR^n/ZZ^n$ dotato della topologia quoziente indotta dalla topologia euclidea e $f:RR^n/ZZ^n->RR^n/ZZ^n$ l'applicazione definita da $f(x)=Mx$ con $M$ matrice quadrata di dimensione $n$ a valori in $RR/ZZ$. Per quali matrici $M$ la funzione è continua?
Se non mi sbaglio $RR^n/ZZ^n$ è omeomorfo a $S^1 xx S^1 xx ... xx S^1$ e forse devo applicare questo risultato, non saprei.
Se non mi sbaglio $RR^n/ZZ^n$ è omeomorfo a $S^1 xx S^1 xx ... xx S^1$ e forse devo applicare questo risultato, non saprei.
Risposte
Sarò forse arrugginito (sono uscito ormai da qualche anno dall'Università), ma faccio fatica a comprendere come sia effettivamente definita la tua operazione. Dice che \(M\) ha valori in \(\mathbb R/\mathbb Z,\) che non è però un anello. Suppongo quindi che l'idea sia di fare le operazioni in \(\mathbb R^n\) (con \(M\) a valori in \(mathbb R\) qualsiasi) e poi passare al quoziente solo alla fine. Ma data una matrice qualsiasi \(M\) non ho alcuna certezza che la funzione sia ben definita. Ho infatti che
\[ f(x + \mathbb Z^n) = M(x + \mathbb Z^n) = M\,x + M\,Z^n. \]
Se ora prendo per esempio \(n=1,\) la matrice uguale ad un valore \(m=0.25\) e due numeri reali, per esempio \(0.5\) e \(2.5,\) che appartengono alla stessa classe di equivalenza, ho che il risultato è \(0.125\) nel primo caso e \(0.625\) nel secondo caso. Ho quindi diversi valori per la stessa classe di equivalenza di partenza. Per avere un singolo valore è necessario avere \(M\,\mathbb Z^n \subseteq \mathbb Z^n.\) Nel caso \(n=1\) questo significa \(M = \mathbb Z.\) In dimensioni maggiori si hanno ulteriori possibilità (per esempio rotazioni o riflessioni).
Se la funzione è definita allora è continua in quanto composizione di funzioni continue. Forse il professore voleva quindi che osservassi che la "funzione" non era una funzione nella maggior parte dei casi?
\[ f(x + \mathbb Z^n) = M(x + \mathbb Z^n) = M\,x + M\,Z^n. \]
Se ora prendo per esempio \(n=1,\) la matrice uguale ad un valore \(m=0.25\) e due numeri reali, per esempio \(0.5\) e \(2.5,\) che appartengono alla stessa classe di equivalenza, ho che il risultato è \(0.125\) nel primo caso e \(0.625\) nel secondo caso. Ho quindi diversi valori per la stessa classe di equivalenza di partenza. Per avere un singolo valore è necessario avere \(M\,\mathbb Z^n \subseteq \mathbb Z^n.\) Nel caso \(n=1\) questo significa \(M = \mathbb Z.\) In dimensioni maggiori si hanno ulteriori possibilità (per esempio rotazioni o riflessioni).
Se la funzione è definita allora è continua in quanto composizione di funzioni continue. Forse il professore voleva quindi che osservassi che la "funzione" non era una funzione nella maggior parte dei casi?
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