Equazione della Circonferenza
Salve ragazzi, vorrei un'opinione sulla risoluzione di questo esercizio:
"determinare l'equazione della circonferenza C tangente in P(2,-3) alla retta 2x+y=1 e passante per il punto (2,1)"
Io per risolvere ho fatto un sistema a 3 condizioni:
1) Passante per il punto (2,1), ovvero sostituendo alla eq della circonferenza x e y con questi punti
2)Tangente in (2,-3), beh se è tangente allora passa per quel punto no? Come sopra ma passante per (2,-3)
3) Tangenza a retta 2x+y=1, ho messo a sistema l'eq generale con questa retta
Poi ho risolto e mi è venuta una equazione. Ma a quanto pare alla prof non è piaciuto qualcosa visto che mi ha messo 0, qualcuno mi saprebbe spiegare dove sbaglio? Forse nella condizione 2?
"determinare l'equazione della circonferenza C tangente in P(2,-3) alla retta 2x+y=1 e passante per il punto (2,1)"
Io per risolvere ho fatto un sistema a 3 condizioni:
1) Passante per il punto (2,1), ovvero sostituendo alla eq della circonferenza x e y con questi punti
2)Tangente in (2,-3), beh se è tangente allora passa per quel punto no? Come sopra ma passante per (2,-3)
3) Tangenza a retta 2x+y=1, ho messo a sistema l'eq generale con questa retta
Poi ho risolto e mi è venuta una equazione. Ma a quanto pare alla prof non è piaciuto qualcosa visto che mi ha messo 0, qualcuno mi saprebbe spiegare dove sbaglio? Forse nella condizione 2?
Risposte
La tre è un doppione della due (sai già dove si toccano quindi la tre non ti serve) ... se ti dice che sono tangenti devi sfruttare questa informazione ovvero trovare l'equazione della retta perpendicolare a quella e che passa per il centro (le cui coordinate ti necessitano ...)
Una volta determinata la perpendicolare come faccio ad ottenere il centro? Non ho il raggio
Poniamo che il centro abbia coordinate $a$ e $b$ e $r$ sia il raggio allora l'equazione della circonferenza è $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$.
Sostituiamo nella circonferenza i punti che sappiamo appartenerle ed otteniamo due equazioni per il nostro sistema di tre incognite ovvero ${((2-a)^2+(1-b)^2=r^2),((2-a)^2+(-3-b)^2=r^2):}$
La terza la ricaviamo dalle condizioni di tangenza: la retta data è $y=-2x+1$, la perpendicolare è $y=x/2+q$ e conoscendo un punto da cui passa ricaviamo $q$ ovvero $y=x/2-4$; la perpendicolare è la direttrice su cui giace il raggio quindi passa per il centro perciò $C(a,b)$ è un punto di quella retta da cui $b=a/2-4$ ... ecco la terza equazione del sistema ...
Lo puoi risolvere come vuoi però faccio notare che sottraendo membro a membro le prime due ti resta $(1-b)^2-(-3-b)^2=0$ dalla quale si ricava velocemente $b=-1$; sostituendolo nella terza abbiamo $a=6$ e sostituendoli entrambi nella prima abbiamo $r^2=20$
Ok?
Sostituiamo nella circonferenza i punti che sappiamo appartenerle ed otteniamo due equazioni per il nostro sistema di tre incognite ovvero ${((2-a)^2+(1-b)^2=r^2),((2-a)^2+(-3-b)^2=r^2):}$
La terza la ricaviamo dalle condizioni di tangenza: la retta data è $y=-2x+1$, la perpendicolare è $y=x/2+q$ e conoscendo un punto da cui passa ricaviamo $q$ ovvero $y=x/2-4$; la perpendicolare è la direttrice su cui giace il raggio quindi passa per il centro perciò $C(a,b)$ è un punto di quella retta da cui $b=a/2-4$ ... ecco la terza equazione del sistema ...
Lo puoi risolvere come vuoi però faccio notare che sottraendo membro a membro le prime due ti resta $(1-b)^2-(-3-b)^2=0$ dalla quale si ricava velocemente $b=-1$; sostituendolo nella terza abbiamo $a=6$ e sostituendoli entrambi nella prima abbiamo $r^2=20$
Ok?
Interessante, non ci avrei mai pensato. Grazie mille 
Disegnandola ho notato che quei punti sono diametralmente opposti, quindi in pratica indicano gli estremi del diametro. Quindi ottenendo il punto medio e quindi il centro, e dividendo il diametro ottengo il raggio che è 2 e l'eq della circonferenza. Ha messo la retta tangente solo per confonderci in pratica.
???
Ne sei sicuro? Come fai a disegnarla PRIMA di conoscere centro e raggio?
Ti ho fatto i conti, sono sbagliati?
Ne sei sicuro? Come fai a disegnarla PRIMA di conoscere centro e raggio?
Ti ho fatto i conti, sono sbagliati?
Ho disegnato i punti, sono sulla stessa X.
A parte il fatto che non era necessario disegnarli per arrivare a tale conclusione (hanno la stessa ascissa), mi spieghi perché dovrebbero essere "diametralmente opposti"? Chi te l'ha detto che sono gli estremi del diametro della circonferenza che stai cercando (e che quindi ancora non conosci)?
Non fare supposizioni avventate altrimenti vai a sbattere di brutto ...
Non fare supposizioni avventate altrimenti vai a sbattere di brutto ...
Fra l'altro, essendo due punti con la stessa ascissa, se fossero gli estremi di un diametro, le tangenti alla circonferenza in ciascuno dei due dovrebbe essere parallele all'asse delle ascisse: così non è.
Ciao
Ciao
Con i tuoi calcoli la circonferenza viene: $ x^2+y^2+6x-y-43/4=0 $
Considerandoli come diametro mi viene: $ x^2+y^2-4x+2y+1=0 $
Fatto sta che entrambe intersecano la retta che dovrebbe essere la tangente in due punti. Quindi boh non so più che pensare. D'altronde non mi stupisco visto che a quest'esame sono state bocciate 36 persone su 40
Considerandoli come diametro mi viene: $ x^2+y^2-4x+2y+1=0 $
Fatto sta che entrambe intersecano la retta che dovrebbe essere la tangente in due punti. Quindi boh non so più che pensare. D'altronde non mi stupisco visto che a quest'esame sono state bocciate 36 persone su 40
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... ci rinuncio ...Per inciso "con i miei calcoli" l'equazione "esplicita" della circonferenza è $x^2+y^2-12x+2y-17=0$, inoltre come può la tangente intersecare la circonferenza in due punti?
Mi hanno consigliato un altro metodo e mi esce uguale a te. Se dà lo stesso risultato con due metodi diversi è per forza così! Grazie ancora per il tuo tempo 
"Com'è buono Lei" (cit.)
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