Esercizio endomorfismo nilpotente e forma Jordan
Salve! Riporto qui un problema che mi ha creato alcune difficoltà...
"Sia $n>=2$, sia $f$ nilpotente di $CC^n$ tale che $EE k>=1$ t.c $dim Ker f^(k+1)=dim Ker f^k +1 $
a)Mostrare che nella forma canonica di Jordan di $f$ è presente un unico blocco di ordine massimo
b)Mostrare che esiste un intero $h>=1$ tale che $dim Im f^h=1$
c)Mostrare che esiste $W$ sottospazio di $CC^n$ di dimensione 1 tale che ogni base di $CC^n$ di Jordan per $f$ contiene un generatore di W
Avevo pensato di partire dalla successione dei nuclei e magari chiamare s l'indice di nilpotenza e poi ragionare sulla dimensione del nucleo dell'endomorfismo e il polinomio minimo...
Per il secondo punto magari la decomposizione di Fitting potrebbe darmi una mano
"Sia $n>=2$, sia $f$ nilpotente di $CC^n$ tale che $EE k>=1$ t.c $dim Ker f^(k+1)=dim Ker f^k +1 $
a)Mostrare che nella forma canonica di Jordan di $f$ è presente un unico blocco di ordine massimo
b)Mostrare che esiste un intero $h>=1$ tale che $dim Im f^h=1$
c)Mostrare che esiste $W$ sottospazio di $CC^n$ di dimensione 1 tale che ogni base di $CC^n$ di Jordan per $f$ contiene un generatore di W
Avevo pensato di partire dalla successione dei nuclei e magari chiamare s l'indice di nilpotenza e poi ragionare sulla dimensione del nucleo dell'endomorfismo e il polinomio minimo...
Per il secondo punto magari la decomposizione di Fitting potrebbe darmi una mano
Risposte
Ah, questo esercizio! xD
Dunque, il blocco di ordine massimo è dato da $b_s = d_s - d_(s-1)$ dove $d_S = dim(Kerf^s) = n$, $d_(s-1) = dimKer(f^(s-1))$ e $s$ è l'indice di nilpotenza di $f$. Ti ricordo che la successione $a_m = d_m - d_(m-1)$ è decrescente e $a_k = 1$ per cui...
Il punto $b$ lo fai con molto meno: sfrutta il punto $a$, potrebbe aiutarti farti qualche esempio di blocco di jordan, anzi ti consiglio caldamente di fare questo esercizio: prendi un blocco di Jordan di ordine $k$, cosa accade quando ne fai le potenze? Stessa domanda se prendo $A = diag(J_k, J_h)$(matrice diagonale a blocchi) dove $h < k$ e $h, k$ sono gli ordini dei blocchi.
Ciao!
Dunque, il blocco di ordine massimo è dato da $b_s = d_s - d_(s-1)$ dove $d_S = dim(Kerf^s) = n$, $d_(s-1) = dimKer(f^(s-1))$ e $s$ è l'indice di nilpotenza di $f$. Ti ricordo che la successione $a_m = d_m - d_(m-1)$ è decrescente e $a_k = 1$ per cui...
Il punto $b$ lo fai con molto meno: sfrutta il punto $a$, potrebbe aiutarti farti qualche esempio di blocco di jordan, anzi ti consiglio caldamente di fare questo esercizio: prendi un blocco di Jordan di ordine $k$, cosa accade quando ne fai le potenze? Stessa domanda se prendo $A = diag(J_k, J_h)$(matrice diagonale a blocchi) dove $h < k$ e $h, k$ sono gli ordini dei blocchi.
Ciao!
Esercizio già visto? xD
Comunque il punto a) quindi si risolve con poco applicando il tuo suggerimento e l'ipotesi del testo ( n si semplifica con n e resta 1)
Per il punto b) ho cercato di fare qualche esempio di potenze di blocchi di Jordan e ho visto che la diagonale dei numeri 1 sopra la diagonale principale si "sposta" alla diagonale superiore/successiva.
Io pensavo alla decomposizione in questo senso: cercare di decomporre $CC^n$ in un Ker di dimensione $n-1$ e l'immagine cercata
Comunque il punto a) quindi si risolve con poco applicando il tuo suggerimento e l'ipotesi del testo ( n si semplifica con n e resta 1)
Per il punto b) ho cercato di fare qualche esempio di potenze di blocchi di Jordan e ho visto che la diagonale dei numeri 1 sopra la diagonale principale si "sposta" alla diagonale superiore/successiva.
Io pensavo alla decomposizione in questo senso: cercare di decomporre $CC^n$ in un Ker di dimensione $n-1$ e l'immagine cercata
"nick_10":
Esercizio già visto? xD
Già
Comunque il punto a) quindi si risolve con poco applicando il tuo suggerimento e l'ipotesi del testo ( n si semplifica con n e resta 1)
sì, poiché $s$ è l'indice di nilpontenza si ha necessariamente $b_s = 1$ per la decrescenza di $a_m$.
Per il punto b) ho cercato di fare qualche esempio di potenze di blocchi di Jordan e ho visto che la diagonale dei numeri 1 sopra la diagonale principale si "sposta" alla diagonale superiore/successiva.
quindi la dimensione del nucleo cresce e quella dell'immagine decresce.
Io pensavo alla decomposizione in questo senso: cercare di decomporre $CC^n$ in un Ker di dimensione $n-1$ e l'immagine cercata
Che ti viene data proprio dal ragionamento di cui sopra: quando elevi alla $s-1$ l'unico blocco che sopravvive(cioè che ha un $1$ da qualche parte) è proprio quello di dimensione $s$!
Okok mi scuso se l'esercizio era già presente nel forum
Quindi l'intero $h$ cercato è relativo a quell'unico 1 rimasto nella matrice?
Quindi l'intero $h$ cercato è relativo a quell'unico 1 rimasto nella matrice?
"nick_10":
Okok mi scuso se l'esercizio era già presente nel forum
Oh no, l'ho già visto in privato. Non so se era già presente sul forum xD
Quindi l'intero $h$ cercato è relativo a quell'unico 1 rimasto nella matrice?
In che senso? Ti chiede di trovare un $h$ per cui $dimImf^h = 1$ ebbene $h = s-1$ fa al caso nostro. No? Ti è chiaro perché va bene come scelta?
Sisi mi sono espresso male...
volevo intendere a livello matriciale/grafico ci troviamo al punto in cui nella matrice sopravvive l'1. O sbaglio?
volevo intendere a livello matriciale/grafico ci troviamo al punto in cui nella matrice sopravvive l'1. O sbaglio?
"nick_10":
Sisi mi sono espresso male...
volevo intendere a livello matriciale/grafico ci troviamo al punto in cui nella matrice sopravvive l'1. O sbaglio?
Sì, hai una sola colonna non banale e quindi la dimensione dell'immagine è proprio $1$.
Quindi scusa, ultimo chiarimento. Abbiamo scritto $CC^n= Ker f^(s-1) oplus Im f^(s-1)$?
"nick_10":
Quindi scusa, ultimo chiarimento. Abbiamo scritto $CC^n= Ker f^(s-1) oplus Im f^(s-1)$?
Sì
Grazie 
Per l'ultimo punto pensavo al procedimento che si usa per costruire una base di Jordan scegliendo i vari supplementari
Per l'ultimo punto pensavo al procedimento che si usa per costruire una base di Jordan scegliendo i vari supplementari
"nick_10":
Grazie
Per l'ultimo punto pensavo al procedimento che si usa per costruire una base di Jordan scegliendo i vari supplementari
Perché no, sfrutta anche il punto precedente. Vediamo cosa ne viene fuori!
Ok, quindi nello scegliere il supplementare di $Ker f^(s-1)$ potrei scegliere direttamente ,da punto precedente ,$W=Im f^(s-1)$ che ha dimensione 1. Sceglierei quindi un suo generatore $W=Span(v)$. Completando a base e poi applicando f, seguendo tutto il procedimento nella costruzione di una base di Jordan, ogni base dovrebbe contenere $v$
Mi sembra corretto
Grazie mille come sempre
Poi lo butterò giu meglio
Poi lo butterò giu meglio
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