Esercizio su conica (parabola) e come trovare il suo asse.
Salve a tutti, mi è capitato un esercizio che non so come svolgere, ho la seguente conica
$x^2 + 4xy + 4y^2 - 6x + 1 = 0$ da cui mi ricavo la matrice simmetrica associata :
$|(1,2,-3),(2,4,0),(-3,0,1)|$
Il determinante è di $A_{1212}$ è 0, quindi è una parabola.
L'esercizio mi dice di trovare, nel caso sia una parabola , il suo asse ma non ho la più pallida idea di come si faccia e nel libro di teoria non ho trovato niente di utile. Vi ringrazio in anticipo dell'attenzione e delle risposte!
$x^2 + 4xy + 4y^2 - 6x + 1 = 0$ da cui mi ricavo la matrice simmetrica associata :
$|(1,2,-3),(2,4,0),(-3,0,1)|$
Il determinante è di $A_{1212}$ è 0, quindi è una parabola.
L'esercizio mi dice di trovare, nel caso sia una parabola , il suo asse ma non ho la più pallida idea di come si faccia e nel libro di teoria non ho trovato niente di utile. Vi ringrazio in anticipo dell'attenzione e delle risposte!
Risposte
1.per prima cosa osserva i coefficienti dei termini di 2° grado:essendo una parabola sono un quadrato di binomio (sempre nel caso di parabole!!) e lo possiamo riscrivere cosi:
$ x^2+4xy+4y^2 = (x+2y)^2 $
2.ora l'equazione $ x+2y=0 $ è l'equazione della direzione dell'asse della parabola,ovvero l'asse sara certamente una retta parallela alla retta di equazione: $ y=-x/2 $
3.prendi una generica retta perpendicolare all'asse della parabola,ad esempio: $ y=2x $
4.interseca la tua conica di partenza con la retta trovata al punto precedente;troverai i 2 punti di intersezione M1 e M2
5.trova il punto medio M dei 2 punti M1 e M2
NB:in certi casi M1 e M2 possono essere numeri complessi coniugati,ma vanno bene lo stesso dato che il loro punto medio M sara sempre reale
6.siano m il coefficiente angolare della retta dell'asse (nel tuo caso è $ m=-1/2 $,vedi punto 2.),xm e ym l'ascissa e l'ordinata di M;
la retta dell'asse cercato sara: $ y-ym=m(x-xm) $
Allego anche la sua rappresentazione grafica (clicca per ingrandire):
$ x^2+4xy+4y^2 = (x+2y)^2 $
2.ora l'equazione $ x+2y=0 $ è l'equazione della direzione dell'asse della parabola,ovvero l'asse sara certamente una retta parallela alla retta di equazione: $ y=-x/2 $
3.prendi una generica retta perpendicolare all'asse della parabola,ad esempio: $ y=2x $
4.interseca la tua conica di partenza con la retta trovata al punto precedente;troverai i 2 punti di intersezione M1 e M2
5.trova il punto medio M dei 2 punti M1 e M2
NB:in certi casi M1 e M2 possono essere numeri complessi coniugati,ma vanno bene lo stesso dato che il loro punto medio M sara sempre reale
6.siano m il coefficiente angolare della retta dell'asse (nel tuo caso è $ m=-1/2 $,vedi punto 2.),xm e ym l'ascissa e l'ordinata di M;
la retta dell'asse cercato sara: $ y-ym=m(x-xm) $
Allego anche la sua rappresentazione grafica (clicca per ingrandire):
[mod="cirasa"]Ho modificato il messaggio di "dariospina" aggiungendo il tag per le formule.
Naturalmente dò il benvenuto ad entrambi in questo forum
Enjoy![/mod]
Naturalmente dò il benvenuto ad entrambi in questo forum
Enjoy![/mod]
Con i numeri complessi non sono per niente bravo, perciò potreste vedere se questo ragionamento è corretto??
Prendo, nel nostro caso, la retta y=2x+c (ossia una generica retta perpendicolare a quella con direzione dell'asse) e la metto all'intersezione con la conica imponendo il Delta =0 nel modo da darci una sola soluzione , così individuo la retta passante per il vertice e interesecandole ottengo le coordinate del vertice. Imponendo così a una generica retta parallela a quella con direzione dell'asse, di passare per il vertice ottengo la retta dell'asse?
So che è motlo più complicato ma non me la cavo per niente bene con i numeri complessi.
Ringrazio tutti per l'attenzione e il benvenuto
Prendo, nel nostro caso, la retta y=2x+c (ossia una generica retta perpendicolare a quella con direzione dell'asse) e la metto all'intersezione con la conica imponendo il Delta =0 nel modo da darci una sola soluzione , così individuo la retta passante per il vertice e interesecandole ottengo le coordinate del vertice. Imponendo così a una generica retta parallela a quella con direzione dell'asse, di passare per il vertice ottengo la retta dell'asse?
So che è motlo più complicato ma non me la cavo per niente bene con i numeri complessi.
Ringrazio tutti per l'attenzione e il benvenuto
"dariospina":
Con i numeri complessi non sono per niente bravo, perciò potreste vedere se questo ragionamento è corretto??
Prendo, nel nostro caso, la retta y=2x+c (ossia una generica retta perpendicolare a quella con direzione dell'asse) e la metto all'intersezione con la conica imponendo il Delta =0 nel modo da darci una sola soluzione , così individuo la retta passante per il vertice e interesecandole ottengo le coordinate del vertice. Imponendo così a una generica retta parallela a quella con direzione dell'asse, di passare per il vertice ottengo la retta dell'asse?
Si il ragionamento è giusto, anche io di solito faccio così!
@byob12: Come hai tracciato quel grafico? Esiste un programma particolare?
riescumo un secondo questo post.
Si potrebbe procedere così. L'asse della parabola è la polare della direzione ortogonale al pt improprio.
Pertanto calcolo il pt improprio della conica (che per la parabola coincide con il suo centro) C(-2,1,0) e la direzione ortogonale è A(1,2,0). La polare di tale pt, che rappresenta l'asse, è 5x+10y-3 = 0.
Sbaglio?
Si potrebbe procedere così. L'asse della parabola è la polare della direzione ortogonale al pt improprio.
Pertanto calcolo il pt improprio della conica (che per la parabola coincide con il suo centro) C(-2,1,0) e la direzione ortogonale è A(1,2,0). La polare di tale pt, che rappresenta l'asse, è 5x+10y-3 = 0.
Sbaglio?
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