Stabilire assiomi di separazione in $([-1,1],\tau)$
Buonasera a tutti, avrei bisogno di una conferma su questo esercizio di cui purtroppo non ho la soluzione
Ecco la mia idea:
Non è di Hausdorff: Sia $x=1$, $y \in X$. Sia $A$ un intorno aperto di ${1}$. Necessariamente deve essere $A=[-1,1]=X$. Quindi ogni intorno di $1$ interseca non banalmente ogni intorno di un punto interno a $X$, perciò, poiché punti distinti non ammettono intorni disgiunti, non è $T_2$. (E dunque nemmeno $T_1$ visto che non esiste un intorno di $1$ che non è intorno di $y$).
Però per mostrare che non è $T_1$ volevo usare la caratterizzazione: $T_1 <=>$ ogni punto è un chiuso.
Sia ${x} \in X$. Ho più casi possibili, per esempio, se $x=0$, allora $C_X({x})=[-1,0) \cup (0,1] \in tau$ (unione di aperti è aperta).
Se però $x!=0$, per esempio prendo ${1/2}$, allora $C_X({x})=[-1,1/2) \cup (1/2,1] \notin \tau$ poiché $0 \in [-1,1/2)$.
Mi risulta sia $T_0$. Se prendo punti interni a $X$ fila tutto liscio. Il punto che "rompe le uova nel paniere" (cit. @j18eos
) è un estremo, sia ${1}$. Ma in questo caso si ha proprio che ogni intorno soddisfa la definizione di spazio $T_0$. Infatti, un intorno di $y$ interno a $X$ non è intorno di $1$.
Sperando di non averne sparate troppe, buonanotte
Sia $X=[-1,1]$ con la topologia $\tau$ così definita: $U$ è aperto in $\tau$ se non contiene $0$ oppure $u$ contiene $(-1,1)$.
Stabilire le proprietà di separazione di $(X,\tau)$
Ecco la mia idea:
Non è di Hausdorff: Sia $x=1$, $y \in X$. Sia $A$ un intorno aperto di ${1}$. Necessariamente deve essere $A=[-1,1]=X$. Quindi ogni intorno di $1$ interseca non banalmente ogni intorno di un punto interno a $X$, perciò, poiché punti distinti non ammettono intorni disgiunti, non è $T_2$. (E dunque nemmeno $T_1$ visto che non esiste un intorno di $1$ che non è intorno di $y$).
Però per mostrare che non è $T_1$ volevo usare la caratterizzazione: $T_1 <=>$ ogni punto è un chiuso.
Sia ${x} \in X$. Ho più casi possibili, per esempio, se $x=0$, allora $C_X({x})=[-1,0) \cup (0,1] \in tau$ (unione di aperti è aperta).
Se però $x!=0$, per esempio prendo ${1/2}$, allora $C_X({x})=[-1,1/2) \cup (1/2,1] \notin \tau$ poiché $0 \in [-1,1/2)$.
Mi risulta sia $T_0$. Se prendo punti interni a $X$ fila tutto liscio. Il punto che "rompe le uova nel paniere" (cit. @j18eos
) è un estremo, sia ${1}$. Ma in questo caso si ha proprio che ogni intorno soddisfa la definizione di spazio $T_0$. Infatti, un intorno di $y$ interno a $X$ non è intorno di $1$.Sperando di non averne sparate troppe, buonanotte
Risposte
Ma mi spieghi come hai fatto a dare le risposte giuste con ragionamenti sbagliati?!
Domanda: \(\displaystyle\{\pm1\}\in\tau\)?
Domanda: \(\displaystyle\{\pm1\}\in\tau\)?
Caspita, potrei sapere dove ho cannato? 
Sì i singoletti appartengono a $\tau$ perché non contengono $0$.
Sì i singoletti appartengono a $\tau$ perché non contengono $0$.
Quindi i singoletti aperti \(\displaystyle\{\pm1\}\) sono separabili da tutti gli altri punti in \(\displaystyle]-1,1[\) tramite quest'ultimo aperto; e inoltre, essendo tali singoletti aperti e disgiunti, hai che \(\displaystyle-1\) e \(\displaystyle1\) si separano tra di loro.
Ora ragiona con \(\displaystyle x\neq y\in]-1,1[\)!
Ora ragiona con \(\displaystyle x\neq y\in]-1,1[\)!
Ok.
Siano $x \ne y \in (-1,1)$. Per vedere se è $T_2$ devo verificare che punti disgiunti ammettono intorni disgiunti.
Se piglio $x,y \ne 0$ problemi non ce ne sono visto che riesco sempre a trovare intorni disgiunti.
Sia ora $x=0, y \in (-1,1)$. Un intorno aperto del singleton ${0}$ può essere solo $X$, perciò ogni suo intorno interseca non banalmente ogni intorno di un punto $y \in (-1,1)$.
Per lo stesso motivo non è $T_1$.
Fin qui va bene?
Siano $x \ne y \in (-1,1)$. Per vedere se è $T_2$ devo verificare che punti disgiunti ammettono intorni disgiunti.
Se piglio $x,y \ne 0$ problemi non ce ne sono visto che riesco sempre a trovare intorni disgiunti.
Sia ora $x=0, y \in (-1,1)$. Un intorno aperto del singleton ${0}$ può essere solo $X$, perciò ogni suo intorno interseca non banalmente ogni intorno di un punto $y \in (-1,1)$.
Per lo stesso motivo non è $T_1$.
Fin qui va bene?
Se ho capìto bene, gli intorni aperti dello \(\displaystyle0\) contengono \(\displaystyle]-1,1[\), quindi sono ben quattro intorni diversi. 
...e comunque hai dimostrato che \(\displaystyle0\) non è separabile dagli altri punti, per cui \(\displaystyle(X,\tau)\) non è uno spazio \(\displaystyle T_2\)!
Passiamo all'assioma di separazione \(\displaystyle T_1\): perché \(\displaystyle\frac{1}{2}\) non è un punto chiuso?
La tua precedente risposta è incompleta!
...e comunque hai dimostrato che \(\displaystyle0\) non è separabile dagli altri punti, per cui \(\displaystyle(X,\tau)\) non è uno spazio \(\displaystyle T_2\)!
Passiamo all'assioma di separazione \(\displaystyle T_1\): perché \(\displaystyle\frac{1}{2}\) non è un punto chiuso?
La tua precedente risposta è incompleta!
Sperando di non aver frainteso ( ) devo mostrare che $C_X({1/2})$ $\in \tau$.
Il complementare è $V=[-1,1/2) \cup (1/2,1]$: lo ${0}$ sta in questo insieme & inoltre $(-1,1) \notin V$. Perciò non è un aperto e quinsi $1/2$ non è un chiuso. Right?
(Curiosità: come si fa il simbolo che indica che non è sottoinsieme?)
) devo mostrare che $C_X({1/2})$ $\in \tau$.Il complementare è $V=[-1,1/2) \cup (1/2,1]$: lo ${0}$ sta in questo insieme & inoltre $(-1,1) \notin V$. Perciò non è un aperto e quinsi $1/2$ non è un chiuso. Right?
(Curiosità: come si fa il simbolo che indica che non è sottoinsieme?)
Ora ci siamo! 
Domanda: qual è la topologia indotta da \(\displaystyle\tau\) su \(\displaystyle[-1,0[\cup]0,1]\)?
P.S.: La scrittura \(\displaystyle S\subseteq T\) (& simili) è così codificata in LaTeX
Domanda: qual è la topologia indotta da \(\displaystyle\tau\) su \(\displaystyle[-1,0[\cup]0,1]\)?
P.S.: La scrittura \(\displaystyle S\subseteq T\) (& simili) è così codificata in LaTeX
S\subseteq T; e ti ricordo che c'è il tasto per i simboli LaTeX disponibili.
"j18eos":
Domanda: qual è la topologia indotta da τ su [−1,0[∪]0,1]?
Nella pratica devo intersecare $Y=[−1,0[∪]0,1]$ con un aperto della topologia $\tau$, cioè con insiemi che contengono $(-1,1)$ oppure con insiemi che non contengono il singoletto $0$. Nella topologia indotta da $\tau$ su $Y$ tutto è aperto, quindi induce la topologia discreta.
Questo dovrebbe servirmi per dire che lo spazio è $T_0$? Non capisco come però...
"j18eos":
Ora ci siamo!
Scusami è che nella risposta dove lo motivavo lo avevo dato per noto, meglio farlo vedere, grazie
"j18eos":
P.S.: La scrittura S⊆T (& simili) è così codificata in LaTeX
Codice:
S\subseteq T$;
e ti ricordo che c'è il tasto per i simboli LaTeX disponibili.
Grazie mille
Beh... se \(\displaystyle Y\) con la topologia indotta da \(\displaystyle\tau\) è uno spazio discreto, questo è \(\displaystyle T_2\), in particolare \(\displaystyle T_0\); essendo \(\displaystyle X=Y\cup\{0\}\), come concluderesti il ragionamento?
Ho che se piglio $x=0$ e $y \in X, y \ne 0$, ogni intorno di $0$ è pure intorno di $y$, mentre il viceversa evidentemente non può valere. Quindi $(X,\tau)$ è $T_0$. Spero sia corretto (dovrei precisare perché non può valere, ma su quello non dovrei avere problemi).
Un ultima cosa, anche se non richiesta dalla traccia: l'insieme è compatto poiché da un suo ricoprimento aperto posso sempre estrarre gli aperti $(-1,1), {-1}, {+1}$, che sono un sottoricoprimento finito di $X$. Può andare?
Un ultima cosa, anche se non richiesta dalla traccia: l'insieme è compatto poiché da un suo ricoprimento aperto posso sempre estrarre gli aperti $(-1,1), {-1}, {+1}$, che sono un sottoricoprimento finito di $X$. Può andare?
Esatto: \(\displaystyle(X,\tau)\) è uno spazio \(\displaystyle T_0\)!
Sulla compattezza: più o meno ci siamo; da ogni ricoprimento aperto puoi estrarre ad abbundatiam il ricoprimento aperto finito \(\displaystyle U_1,U_2,U_3\) con \(\displaystyle U_1\supseteq]-1,1[,1\in U_2,-1\in U_3\).
E sulla connessione che mi dici?
Sulla compattezza: più o meno ci siamo; da ogni ricoprimento aperto puoi estrarre ad abbundatiam il ricoprimento aperto finito \(\displaystyle U_1,U_2,U_3\) con \(\displaystyle U_1\supseteq]-1,1[,1\in U_2,-1\in U_3\).
E sulla connessione che mi dici?
Te dico che se piglio $A=(-1,1]$ e $B= {-1}$ ho trovato aperti disgiunti la cui unione è $X$
Grazie infinite
Grazie infinite
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