Stabilire assiomi di separazione in spazio quoziente
Ho difficoltà nello stabilire la correttezza del seguente esercizio.
La mia idea era questa.
Non è $T_2$ perché se considero i punti ${+1}$, ${-1}$, esiste un intorno di ciascuno che non è disgiunto da un intorno dell'altro.
Sia infatti $U$ un intorno di ${1}$ nel quoziente, perciò esiste $\epsilon >0$ tale che ${1} \in (\epsilon,1]$. Utilizzando la proiezione canonica, significa che $(-1,\epsilon) \cup (\epsilon,1] \in \pi^{-1}(U)$.
Sia poi $V$ un intorno di ${-1}$ nel quoziente, esisterò ancora un $\epsilon$ tale che $[-1, - \epsilon) \in \pi^{-1}(V)$.
Quindi esisterà un $x \in \pi^{-1}(U) \ cap \pi^{-1}(V)$, so $\pi(x) \in U \cap V \ne \emptyset$, perciò non è $T_2$.
Mostro che è $T_1$ facendo vedere che ogni punto è un chiuso. In altre parole, devo mostrare che la controimmagine del complementare di ogni singoletto è un aperto nel quoziente. Quello che mi preme è essere sicuro di aver motivato bene ciò.
Dunque, ho quattro (tre, poiché uno è simmetrico) casi.
(i) Sia $y =0$. Mostro che ${0}$ è aperto nel quoziente. A tal fine, considero il complementare nel quoziente, che è ([size=150]spero di non sbagliare[/size]) $(0,1] \cup {-1}$.
Ora che $\pi^{-1}((0,1] \cup {-1})={-1} \cup (0,1] \cup (-1,0)=[-1,0) \cup (0,1]$ che appartiene alla topologia indotta dalla topologia euclidea su $[-1,1]$.
(ii) $y \ne 0,+-1$. Senza perdita di generalità suppongo $x=1/2$. Allora il suo complementare nel quoziente è $V=[0,1/2) \cup (1/2,1] \cup {-1}$.
La controimmagine tramite $\pi$ mi da $(-1/2,0] \cup [0,1/2) \cup (1/2,1] \cup (-1/2,1/2) \cup {-1}=(-1/2,1/2), \cup (1/2,1] \cup [-1,-1/2)$, ciascuno dei quali è un aperto nella topologia indotta.
(iii) $y=1$. (Un ragionamento analogo vale anche per $-1$)
Passando al complementare ottengo $U={-1} \cup [0,1)$. Se riesco a far vedere che l'antimmagine tramite la proiezione canonica è un aperto, allora $1$ è un chiuso. Perciò, $\pi^{-1}(U)={-1} \cup (-1,0] \cup [0,1)=[-1,1)$ che è un aperto della topologia indotta, infatti $[-1,1)= [-1,1] \cap (-2,1)$.
Può andare? Grazie a chiunque possa darmi qualche consiglio, informazione, o quant'altro
Sull'intervallo $I= [-1,1]$ della retta reale, dotato della topologia indotta dalla topologia euclidea, è definita la relazione di equivalenza $\mathcal{R}$: $x\mathcal{R} y <=> y=-x, x \ne +-1$
Stabilire se lo spazio quoziente $I//\mathcal{R}$ è $T_2,T_1$ o $T_0$
La mia idea era questa.
Non è $T_2$ perché se considero i punti ${+1}$, ${-1}$, esiste un intorno di ciascuno che non è disgiunto da un intorno dell'altro.
Sia infatti $U$ un intorno di ${1}$ nel quoziente, perciò esiste $\epsilon >0$ tale che ${1} \in (\epsilon,1]$. Utilizzando la proiezione canonica, significa che $(-1,\epsilon) \cup (\epsilon,1] \in \pi^{-1}(U)$.
Sia poi $V$ un intorno di ${-1}$ nel quoziente, esisterò ancora un $\epsilon$ tale che $[-1, - \epsilon) \in \pi^{-1}(V)$.
Quindi esisterà un $x \in \pi^{-1}(U) \ cap \pi^{-1}(V)$, so $\pi(x) \in U \cap V \ne \emptyset$, perciò non è $T_2$.
Mostro che è $T_1$ facendo vedere che ogni punto è un chiuso. In altre parole, devo mostrare che la controimmagine del complementare di ogni singoletto è un aperto nel quoziente. Quello che mi preme è essere sicuro di aver motivato bene ciò.
Dunque, ho quattro (tre, poiché uno è simmetrico) casi.
(i) Sia $y =0$. Mostro che ${0}$ è aperto nel quoziente. A tal fine, considero il complementare nel quoziente, che è ([size=150]spero di non sbagliare[/size]) $(0,1] \cup {-1}$.
Ora che $\pi^{-1}((0,1] \cup {-1})={-1} \cup (0,1] \cup (-1,0)=[-1,0) \cup (0,1]$ che appartiene alla topologia indotta dalla topologia euclidea su $[-1,1]$.
(ii) $y \ne 0,+-1$. Senza perdita di generalità suppongo $x=1/2$. Allora il suo complementare nel quoziente è $V=[0,1/2) \cup (1/2,1] \cup {-1}$.
La controimmagine tramite $\pi$ mi da $(-1/2,0] \cup [0,1/2) \cup (1/2,1] \cup (-1/2,1/2) \cup {-1}=(-1/2,1/2), \cup (1/2,1] \cup [-1,-1/2)$, ciascuno dei quali è un aperto nella topologia indotta.
(iii) $y=1$. (Un ragionamento analogo vale anche per $-1$)
Passando al complementare ottengo $U={-1} \cup [0,1)$. Se riesco a far vedere che l'antimmagine tramite la proiezione canonica è un aperto, allora $1$ è un chiuso. Perciò, $\pi^{-1}(U)={-1} \cup (-1,0] \cup [0,1)=[-1,1)$ che è un aperto della topologia indotta, infatti $[-1,1)= [-1,1] \cap (-2,1)$.
Può andare? Grazie a chiunque possa darmi qualche consiglio, informazione, o quant'altro
Risposte
...non lo so?! 
E se calcoli \(\pi^{-1}([x])\) con \(x\in[-1,1]\), che cosa ottieni?
UPDATE! Ora passo alla risposta seria: dovresti calcolare meglio le anti-immagini degli intorni \(\displaystyle U\) di \(\displaystyle[x]\) mediante \(\displaystyle\pi\); con \(\displaystyle x\in]-1,1[\).
E se calcoli \(\pi^{-1}([x])\) con \(x\in[-1,1]\), che cosa ottieni?
UPDATE! Ora passo alla risposta seria: dovresti calcolare meglio le anti-immagini degli intorni \(\displaystyle U\) di \(\displaystyle[x]\) mediante \(\displaystyle\pi\); con \(\displaystyle x\in]-1,1[\).
Umm...
(i) $\pi^{-1}([0])={0}$
(ii) $\pi^{-1}([y])={+y,-y}$, $y \ne 0,+-1$
(iii) $\pi^{-1}([+1])={1}$
(iv) $\pi^{-1}([-1])={-1}$
Scusa la domanda, ma questo cosa comporta?
(i) $\pi^{-1}([0])={0}$
(ii) $\pi^{-1}([y])={+y,-y}$, $y \ne 0,+-1$
(iii) $\pi^{-1}([+1])={1}$
(iv) $\pi^{-1}([-1])={-1}$
Scusa la domanda, ma questo cosa comporta?
Le anti-immagini, rispetto alla topologia naturale su \(\displaystyle[-1,1]\), che tipo di insiemi sono?
Sono chiusi , per esempio con ${0}$ ho che il suo complementare è un aperto nella topologia indotta dalla topologia euclidea indotta su $[-1,1]$.
Quindi ricapitolando: ho che la controimmagine di ogni punto è un chiuso. Chi mi assicura però che ogni ogni punto è un chiuso? (La continuità di $\pi$,vero?)
Quindi ricapitolando: ho che la controimmagine di ogni punto è un chiuso. Chi mi assicura però che ogni ogni punto è un chiuso? (La continuità di $\pi$,vero?)
Non solo la continuità di \(\displaystyle\pi\), anche la scelta che la topologia quoziente è la più fine topologia sull'insieme quoziente tale che la proiezione canonica \(\displaystyle\pi\) sia continua!
Quindi se l'anti-immagine mediante \(\displaystyle\pi\) di un insieme \(\displaystyle U\) è aperto\chiuso, allora questi è aperto\chiuso!
Ti torna tutto?
Quindi se l'anti-immagine mediante \(\displaystyle\pi\) di un insieme \(\displaystyle U\) è aperto\chiuso, allora questi è aperto\chiuso!
Ti torna tutto?
Certo, la continuità di $\pi$ l'avevo dedotta proprio dal fatto che la topologia quoziente fosse la più fine a rendere $\pi$ continua
Infinite grazie davvero!
Un'ultima cosa: dalla tua precedente risposta mi pare di aver capito che ho sbagliato a calcolare l'anti-immagine tramite $\pi$ in (ii), cioè $\pi^{-1}(V)$, con $V=[0,1/2) \cup (1/2,1] \cup {-1}$. Solo che non riesco a trovare l'errore !
Infinite grazie davvero!
Un'ultima cosa: dalla tua precedente risposta mi pare di aver capito che ho sbagliato a calcolare l'anti-immagine tramite $\pi$ in (ii), cioè $\pi^{-1}(V)$, con $V=[0,1/2) \cup (1/2,1] \cup {-1}$. Solo che non riesco a trovare l'errore !
Allora, dato che identifichi gli elementi simmetrici, eccetto gli estremi, abbiamo che
\[
\pi^{-1}\left(X_{/\sim}\setminus\left\{\left[\frac{1}{2}\right]\right\}\right)=X\setminus\pi^{-1}\left(\left[\frac{1}{2}\right]\right)=[-1,1]\setminus\left\{\pm\frac{1}{2}\right\}
\]
quindi il tuo calcolo è corretto; solo che l'ho trovato parecchio incasinato, e non c'avevo capìto molto scusami 
\[
\pi^{-1}\left(X_{/\sim}\setminus\left\{\left[\frac{1}{2}\right]\right\}\right)=X\setminus\pi^{-1}\left(\left[\frac{1}{2}\right]\right)=[-1,1]\setminus\left\{\pm\frac{1}{2}\right\}
\]
quindi il tuo calcolo è corretto; solo che l'ho trovato parecchio incasinato, e non c'avevo capìto molto
scusami
Non diventa tutto più facile dimostrando che \(X/_{\!\sim}\) è omeomorfo alla retta con due origini, e aiutandosi con quella wiki a provare le proprietà di separazione?
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