Esercizio matrici e forma di Jordan
Buonasera a tutti! Riporto qui sotto il testo di un esercizio su cui ho delle difficoltà
"Fissato $n>=1$, siano $A,B in M(n,RR)$ due matrici tali che $A^2+B^2=AB$. Sia $N in M(3,RR)$ la matrice $N=((1,0,0),(0,0,-1),(0,1,-1))$
a)Mostrare che A è invertibile se e solo se B lo è;
b)Mostrare che se $v in RR^n$ è un autovettore comune ad A e B, allora $v in Ker A nn Ker B$
c)Se $A=I$, mostrare che n è pari e calcolare la forma canonica di Jordan di B;
d) Mostrare che se $M in M(3,RR)$ è tale che $tr(M)=tr(M^2)=0$, allora M è simile ad un multiplo di N oppure è nilpotente;
e) Per $n=3$, mostrare che se $BA-AB$ è invertibile, $BA-AB$ è simile ad un multiplo di N
Ho svolto il primo punto con successo. Per gli altri invece ho dei problemi. Qualche consiglio?
Grazie in anticipo
"Fissato $n>=1$, siano $A,B in M(n,RR)$ due matrici tali che $A^2+B^2=AB$. Sia $N in M(3,RR)$ la matrice $N=((1,0,0),(0,0,-1),(0,1,-1))$
a)Mostrare che A è invertibile se e solo se B lo è;
b)Mostrare che se $v in RR^n$ è un autovettore comune ad A e B, allora $v in Ker A nn Ker B$
c)Se $A=I$, mostrare che n è pari e calcolare la forma canonica di Jordan di B;
d) Mostrare che se $M in M(3,RR)$ è tale che $tr(M)=tr(M^2)=0$, allora M è simile ad un multiplo di N oppure è nilpotente;
e) Per $n=3$, mostrare che se $BA-AB$ è invertibile, $BA-AB$ è simile ad un multiplo di N
Ho svolto il primo punto con successo. Per gli altri invece ho dei problemi. Qualche consiglio?
Grazie in anticipo
Risposte
Ciao,
Partiamo dal punto due: gli autovettori sono relativi ad autovalori reali, quindi se $v$ è autovettore comune per $A$ e $B$ allora $\exists \lambda, \mu \in \mathbb{R}$ tale che $Av = \lambdav$ e $Bv = \muv$, sapendo questo e sfruttando la relazione di sopra cosa puoi dedurre? Osservazione: dimostrare che $v \in KerA \nn KerB$ equivale a dimostrare che $\lambda = \mu = 0$.
Partiamo dal punto due: gli autovettori sono relativi ad autovalori reali, quindi se $v$ è autovettore comune per $A$ e $B$ allora $\exists \lambda, \mu \in \mathbb{R}$ tale che $Av = \lambdav$ e $Bv = \muv$, sapendo questo e sfruttando la relazione di sopra cosa puoi dedurre? Osservazione: dimostrare che $v \in KerA \nn KerB$ equivale a dimostrare che $\lambda = \mu = 0$.
Infatti ero arrivato al punto seguente: $lambda mu v $=$lambda^2v+mu^2v $. Ero riuscito a dire soltanto che v=0 ma non il resto...
"nick_10":
Infatti ero arrivato al punto seguente: $lambda mu v $=$lambda^2v+mu^2v $. Ero riuscito a dire soltanto che v=0 ma non il resto...
occhio, un autovettore per definizione(di solito, cioè nella maggior parte dei corsi) è un vettore diverso dal vettore nullo
quindi hai che $\lambda\muv = (\lambda^2 + \mu^2)v$, cioè $(\lambda\mu-\lambda^2-\mu^2)v = 0$ e poiché $v != 0$ si ha che $\lambda\mu-\lambda^2-\mu^2 = 0$, supponiamo $\lambda != 0$... cosa deduci?
Hint: dividi tutto per $\lambda^2$ e poni $t = \frac{\mu}{\lambda}$... l'equazione in $t$ ha soluzioni reali?
Sisi il fatto della definizione di autovettore lo sapevo. Infatti mi ero arrestato proprio per questo motivo (giungendo a v=0)
Grazie per il consiglio di proseguire e supporre $lambda!=0$
Così si arriva subito alla conclusione
Grazie per il consiglio di proseguire e supporre $lambda!=0$
Così si arriva subito alla conclusione
"nick_10":
Sisi il fatto della definizione di autovettore lo sapevo. Infatti mi ero arrestato proprio per questo motivo (giungendo a v=0)
Grazie per il consiglio di proseguire e supporre $lambda!=0$
Così si arriva subito alla conclusione
Perfetto
Passiamo al terzo punto allora, hai già fatto qualche tentativo?
Per dimostrare che n è pari no...nessuna idea proprio
Per la forma di Jordan dalla relazione di sopra posso sapere che il polinomio minimo associato deve dividere $B^2-B+1$ e quindi mi ridurrei a fare una forma canonica di Jordan reale da quella complessa (dato che l'equazione $x^2-x+1$ non ha radici reali)
Per la forma di Jordan dalla relazione di sopra posso sapere che il polinomio minimo associato deve dividere $B^2-B+1$ e quindi mi ridurrei a fare una forma canonica di Jordan reale da quella complessa (dato che l'equazione $x^2-x+1$ non ha radici reali)
"nick_10":
Per dimostrare che n è pari no...nessuna idea proprio
Per la forma di Jordan dalla relazione di sopra posso sapere che il polinomio minimo associato deve dividere $B^2-B+1$ e quindi mi ridurrei a fare una forma canonica di Jordan reale da quella complessa (dato che l'equazione $x^2-x+1$ non ha radici reali)
OK quindi $x^2 - x + 1$ è il polinomio minimo di $B$, le radici reali sono due complesse e coniugate, chiamiamole $\lambda, \bar{\lambda}$, allora $\mathbb{C^n} = V_{\lambda}' \oplus V_{\bar{\lambda}}'$(sono gli autospazi generalizzati), sia quindi ${x_1 + i y_1, ..., x_t + iy_t}$ una base di Jordan di $V_{\lambda}'$ per $B$, allora ${x_1 - iy_1, ..., x_t - iy_t}$ è una base di Jordan di $V_{\bar{\lambda}}'$ per $B$, ${x_1, y_1, ..., x_t, y_t}$ è una base reale di $V_{\lambda}' \oplus V_{\bar{\lambda}}'$(ricordati come si costruisce una base di jordan reale per un endomorfismo) e quindi la dimensione è pari.
Fin qui tutto chiaro...ma perchè n dovrebbe essere pari? Perchè le radici sono due complesse e coniugate?
"nick_10":
Fin qui tutto chiaro...ma perchè n dovrebbe essere pari? Perchè le radici sono due complesse e coniugate?
Fondamentalmente sì, perché hai solo due radici complesse e coniugate: guarda la cardinalità della base di jordan reale per lo spazio.
Ok perfetto. Quindi è fatta anche la forma di Jordan
"nick_10":
Ok perfetto. Quindi è fatta anche la forma di Jordan
Il quarto punto mi sembra fattibile, hai già provato qualcosa?
Avevo pensato di ragionare sulla forma di Jordan di M e che la traccia è un invariante di similitudine.
Però su M non so nulla...niente su polinomio minimo o caratteristico
Però su M non so nulla...niente su polinomio minimo o caratteristico
"nick_10":
Avevo pensato di ragionare sulla forma di Jordan di M e che la traccia è un invariante di similitudine.
Però su M non so nulla...niente su polinomio minimo o caratteristico
Intanto quali sono la forma di jordan e lo spettro di N?
Riguardo alla traccia: è la somma degli autovalori contati con moleplicità, inoltre gli autovalori di $M^2$ sono quelli di $M$ al quadrato.
Il polinomio caratteristico di N lo avevo calcolato...dovrebbe esserre $(1-t)(t^2+t+1)$
Però su M non so quanti autovalori possiede...potrei dividere dei casi?
Però su M non so quanti autovalori possiede...potrei dividere dei casi?
"nick_10":
Il polinomio caratteristico di N lo avevo calcolato...dovrebbe esserre $(1-t)(t^2+t+1)$
Però su M non so quanti autovalori possiede...potrei dividere dei casi?
Intanto $M \in M(3, \mathbb{R})$ quindi il polinomio caratteristico ha grado $3$ e ha almeno una radice reale, diciamo $\lambda \in Sp(M)$, distinguiamo due casi: $M$ triangolabile e $M$ non triangolabile.
Affrontiamo il caso $M$ triangolabile: $SpM = {\lambda, \alpha, \beta}$ e $SpM^2 = {\lambda^2, \alpha^2, \beta^2}$(eventualmente alcuni autovalori possono coincidere), per ipotesi $tr(M) = tr(M^2) = 0$, ovvero $\lambda^2 + \alpha^2 + \beta^2 = 0$, ma gli autovalori sono reali e questo mi dice che $\alpha = \beta = \lambda = 0$.
Prova ad affrontare il caso $M$ non triangolabile.
Il caso M non triangolabile porta a un autovalore reale e due complessi coniugati? O sbaglio?
Corretto, lo spettro complesso di $M$ è ${\lambda, \mu, \bar{\mu}}$.
Quindi il caso M triangolabile sistema la nilpotenza, quest'altro invece il fatto che M è simile a N?
"nick_10":
Quindi il caso M triangolabile sistema la nilpotenza, quest'altro invece il fatto che M è simile a N?
Esatto, sfruttando le ipotesi e facendo dei conti viene fuori che gli autovalori di $M$ sono multipli di quelli di $N$ e quindi $M$ è simile a un multiplo di $N$.
Ovvero devo imporre che la somma degli autovalori e degli autovalori al quadrato è uguale a zero?
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