Indipendenza lineare tra vettori e coordinate rispetto a una base
Un insieme di vettori è linearmente indipendente se è solo se lo è l'insieme delle coordinate rispetto ad una base. Non riesco a dimostrare questo concetto che intuitivamente, considerando i polinomi ad esempio, sembra palese.
Ho provato a partire dal fatto che le coordinate rispetto a una base di due vettori è la somma ordinata delle coordinate dei singoli vettori e che le coordinate di un vettore per unità scalare sono le coordinate del vettore per lo scalare, ma non riesco a concludere.
Ho provato a partire dal fatto che le coordinate rispetto a una base di due vettori è la somma ordinata delle coordinate dei singoli vettori e che le coordinate di un vettore per unità scalare sono le coordinate del vettore per lo scalare, ma non riesco a concludere.
Risposte
Sei partito dal punto giusto. Quello che hai dimostrato è sostanzialmente questo risultato:
Siano $V$ un $K$-spazio vettoriale di dimensione $n$ e $b$ una base di quest'ultimo. Consideriamo la funzione $F:V\rightarrow \RR^n $ che a ogni vettore di $v$ associa il vettore delle coordinate di $v$ rispetto a $b$. Si ha che $F$ è un'applicazione lineare.
Ora devi dimostrare (è immediato) che $F$ è, in particolare, un isomorfismo.
Se riesci a dimostrare anche questa semplice proposizione, hai finito:
Se $T:V\rightarrow W$ è un isomorfismo tra gli spazi vettoriali $V$ e $W$, i vettori $\bb v_1,...,\bb v_p \in V$ sono linearmente indipendenti se e solo se lo sono i vettori $T(\bb v_1),...,T(\bb v_p) \in W$
Se non vuoi passare per le applicazioni lineari (che forse ancora devi studiare?), c'è una dimostrazione diretta che è sostanzialmente la stessa cosa di quella precedente, ma "mascherata".
Siano $\bb b_1,...,\bb b_n$ una base di $V$, $\bb v_1,...,\bb v_n\in V$ vettori linearmente indipendenti e $\bb \x_1,...,\bb x_n \in K^n$ le loro coordinate. Per definizione $\bb \x_1,...,\bb x_n $ sono linearmente indipendenti se e solo se $\bb y=k_1\bb \x_1+...+k_n\bb x_n=(0,...,0)$ implica $k_1=...=k_n=0 \in K$. Ora, per quanto hai verificato tu stesso, $\bb y\in K^n$ non è altro che il vettore delle coordinate di $\bb w=k_1\bb \v_1+...+k_n\bb v_n\in V$. Ma se $\bb y=(0,...,0)$, $\bb w$ cosa sarà?
Siano $V$ un $K$-spazio vettoriale di dimensione $n$ e $b$ una base di quest'ultimo. Consideriamo la funzione $F:V\rightarrow \RR^n $ che a ogni vettore di $v$ associa il vettore delle coordinate di $v$ rispetto a $b$. Si ha che $F$ è un'applicazione lineare.
Ora devi dimostrare (è immediato) che $F$ è, in particolare, un isomorfismo.
Se riesci a dimostrare anche questa semplice proposizione, hai finito:
Se $T:V\rightarrow W$ è un isomorfismo tra gli spazi vettoriali $V$ e $W$, i vettori $\bb v_1,...,\bb v_p \in V$ sono linearmente indipendenti se e solo se lo sono i vettori $T(\bb v_1),...,T(\bb v_p) \in W$
Se non vuoi passare per le applicazioni lineari (che forse ancora devi studiare?), c'è una dimostrazione diretta che è sostanzialmente la stessa cosa di quella precedente, ma "mascherata".
Siano $\bb b_1,...,\bb b_n$ una base di $V$, $\bb v_1,...,\bb v_n\in V$ vettori linearmente indipendenti e $\bb \x_1,...,\bb x_n \in K^n$ le loro coordinate. Per definizione $\bb \x_1,...,\bb x_n $ sono linearmente indipendenti se e solo se $\bb y=k_1\bb \x_1+...+k_n\bb x_n=(0,...,0)$ implica $k_1=...=k_n=0 \in K$. Ora, per quanto hai verificato tu stesso, $\bb y\in K^n$ non è altro che il vettore delle coordinate di $\bb w=k_1\bb \v_1+...+k_n\bb v_n\in V$. Ma se $\bb y=(0,...,0)$, $\bb w$ cosa sarà?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo