Matrice associata
Sia $A:RR^2 →RR^2$ verificante $A((1),(2))=((3),(0))$ e $A((2),(1))=((1),(2))$
Quale matrice la rappresenta rispetto alla base canonica?
come si trova?
Quale matrice la rappresenta rispetto alla base canonica?
come si trova?
Risposte
Ancora una volta puoi usare il cambiamento di base. Hai la possibilità di scrivere qual'è la matrice associata alla base \(\{(1,2), (2, 1)\}\) sia in partenza che in arrivo, che è ottenuta mettendo in colonna l'immagine degli elementi della base.
\(\left(\begin{array}{cc}
3 & 1 \\
0 & 2 \\
\end{array}\right)\)
Per passare da una base uguale in partenza ed in arrivo ad una nuova puoi sfruttare la seguente:
\( A' = XAX^{-1} \) dove si indica con \(X\) la matrice del cambiamento di base da \(\{(1,2), (2, 1)\}\) a \(\{(1,0), (0, 1)\}\)
Questa la si ottiene disponendo in colonna gli elementi della base (solamente perché la nuova base è quella canonica).
Allora X appare come segue:
\(\left(\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
2 & 1 \\
\end{array}\right)\)
Un metodo semplice per il calcolo dell'inversa è quello di valutare il determinante di questa, che è \(-3\), e sfruttare la regola che afferma: \(a_{ij} = -\frac{1}{det(A)}a^{ji} \) dove con \(a^{ji}\) si è inteso il complemento algebrico dell'elemento in posizione \(j,i\) ottenuto calcolando il determinante della matrice ottenuta dalla precedente, cioè la \(A\), eliminando la \(j-esima\) riga e la \(i-esima\) colonna. moltiplicato per \((-1)^{i+j}\).
Otteniamo in questo modo che \(X^{-1}\) ha la seguente scrittura:
\(\left(\begin{array}{cc}
-\frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\
\frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \\
\end{array}\right)\)
Dopo aver svolto il prodotto ottieni la seguente matrice:
\(\left(\begin{array}{cc}
\frac{7}{3} & \frac{1}{3} \\
\frac{2}{3} & \frac{8}{3} \\
\end{array}\right)\)
Che è la matrice che stavi cercando.
Procedimento generale:
Sia \(f: V \to W \) una applicazione lineare con \(V, W\) due sottospazi vettoriali. Sia inoltre A la matrice associata alla \(f\) rispetto alla scelta di basi \(B\) in partenza e \(C\) in arrivo. Vuoi determinare la matrice associata alla \(f\) rispetto alle basi \(B_1\) in partenza e \(C_1\) in arrivo.
Puoi allora considerare \(f(\overline{v})\) come la seguente composizione:
\(id_w \circ f \circ id_v \)
Dove la matrice associata alla composizione è il prodotto delle matrici associate alle rispettive applicazioni, partendo da sinistra verso destra.
La composizione assume questo aspetto:
\( id_v \) \(\to\) \(f\) \(\to\) \(id_w\)
\(B_1\) \(\to\) \(B\) \(\to\) \(C\) \(\to\) \(C_1\)
Per cui dovrai avere a disposizione la matrice associata alla applicazione identica di \(V\), indicata con \(I_v\), con la scelta delle basi \(B_1\) in partenza e \(B\) in arrivo, ottenuta disponendo in colonna i coefficienti della combinazione lineare degli elementi della base \(B\) che permettono di ottenere i vettori della base \(B_1\), (ad esempio la prima colonna saranno i coefficienti della combinazione lineare di \(B\) che descrivono il primo vettore della base \(B_1\)).
E dovrai avere anche a disposizione la matrice associata alla applicazione identica di \(W\), indicata con \(I_w\) rispettiva alla scelta di basi \(C\) in partenza e \(C_1\) in arrivo, ottenuta come puoi immaginare (in analogia al caso precedente).
Allora puoi riscrivere la matrice da te cercata come:
\(I_w * A * I_v \)
che è appunto associata alla composizione identità di w con f, a sua volta composto con l'identità di v.
Inoltre si può anche notare che:
\(id_v \circ id_v \)
dove la identità a sinistra è scritta rispetto alla scelta di basi \(B_1\) in partenza e \(B\) in arrivo, e l'altra con la scelta esattamente opposta in partenza e arrivo, altri non è che l'identità associata alla base \(B_1\) sia in partenza che in arrivo. Allora se chiami \(X\) la matrice associata alla prima, \(Y\) la matrice associata alla seconda, ottieni che:
\(X*Y = I \) dove \(I\) è la matrice con tutti e soli 1 sulla diagonale, 0 altrove. Ne segue che \(Y = X^{-1}\). Allora se \(X\) è la matrice del cambiamento di base da \(B \to B_1\) si ha che \(X^{-1}\) è la matrice del cambiamento di base da \(B_1 \to B\)
Per tutte le considerazioni appena fatte, se hai la matrice associata ad una stessa base in partenza e in arrivo, sia questa \(B\), e vuoi cambiare da entrambi lati ad una nuova base (uguale in partenza e in arrivo),sia questa \(B_1\) chiamando X la matrice del cambiamento di base da \(B \to B_1\) ottieni la formula precedente, cioè:
\(A' = XAX^{-1}\)
\(\left(\begin{array}{cc}
3 & 1 \\
0 & 2 \\
\end{array}\right)\)
Per passare da una base uguale in partenza ed in arrivo ad una nuova puoi sfruttare la seguente:
\( A' = XAX^{-1} \) dove si indica con \(X\) la matrice del cambiamento di base da \(\{(1,2), (2, 1)\}\) a \(\{(1,0), (0, 1)\}\)
Questa la si ottiene disponendo in colonna gli elementi della base (solamente perché la nuova base è quella canonica).
Allora X appare come segue:
\(\left(\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
2 & 1 \\
\end{array}\right)\)
Un metodo semplice per il calcolo dell'inversa è quello di valutare il determinante di questa, che è \(-3\), e sfruttare la regola che afferma: \(a_{ij} = -\frac{1}{det(A)}a^{ji} \) dove con \(a^{ji}\) si è inteso il complemento algebrico dell'elemento in posizione \(j,i\) ottenuto calcolando il determinante della matrice ottenuta dalla precedente, cioè la \(A\), eliminando la \(j-esima\) riga e la \(i-esima\) colonna. moltiplicato per \((-1)^{i+j}\).
Otteniamo in questo modo che \(X^{-1}\) ha la seguente scrittura:
\(\left(\begin{array}{cc}
-\frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\
\frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \\
\end{array}\right)\)
Dopo aver svolto il prodotto ottieni la seguente matrice:
\(\left(\begin{array}{cc}
\frac{7}{3} & \frac{1}{3} \\
\frac{2}{3} & \frac{8}{3} \\
\end{array}\right)\)
Che è la matrice che stavi cercando.
Procedimento generale:
Sia \(f: V \to W \) una applicazione lineare con \(V, W\) due sottospazi vettoriali. Sia inoltre A la matrice associata alla \(f\) rispetto alla scelta di basi \(B\) in partenza e \(C\) in arrivo. Vuoi determinare la matrice associata alla \(f\) rispetto alle basi \(B_1\) in partenza e \(C_1\) in arrivo.
Puoi allora considerare \(f(\overline{v})\) come la seguente composizione:
\(id_w \circ f \circ id_v \)
Dove la matrice associata alla composizione è il prodotto delle matrici associate alle rispettive applicazioni, partendo da sinistra verso destra.
La composizione assume questo aspetto:
\( id_v \) \(\to\) \(f\) \(\to\) \(id_w\)
\(B_1\) \(\to\) \(B\) \(\to\) \(C\) \(\to\) \(C_1\)
Per cui dovrai avere a disposizione la matrice associata alla applicazione identica di \(V\), indicata con \(I_v\), con la scelta delle basi \(B_1\) in partenza e \(B\) in arrivo, ottenuta disponendo in colonna i coefficienti della combinazione lineare degli elementi della base \(B\) che permettono di ottenere i vettori della base \(B_1\), (ad esempio la prima colonna saranno i coefficienti della combinazione lineare di \(B\) che descrivono il primo vettore della base \(B_1\)).
E dovrai avere anche a disposizione la matrice associata alla applicazione identica di \(W\), indicata con \(I_w\) rispettiva alla scelta di basi \(C\) in partenza e \(C_1\) in arrivo, ottenuta come puoi immaginare (in analogia al caso precedente).
Allora puoi riscrivere la matrice da te cercata come:
\(I_w * A * I_v \)
che è appunto associata alla composizione identità di w con f, a sua volta composto con l'identità di v.
Inoltre si può anche notare che:
\(id_v \circ id_v \)
dove la identità a sinistra è scritta rispetto alla scelta di basi \(B_1\) in partenza e \(B\) in arrivo, e l'altra con la scelta esattamente opposta in partenza e arrivo, altri non è che l'identità associata alla base \(B_1\) sia in partenza che in arrivo. Allora se chiami \(X\) la matrice associata alla prima, \(Y\) la matrice associata alla seconda, ottieni che:
\(X*Y = I \) dove \(I\) è la matrice con tutti e soli 1 sulla diagonale, 0 altrove. Ne segue che \(Y = X^{-1}\). Allora se \(X\) è la matrice del cambiamento di base da \(B \to B_1\) si ha che \(X^{-1}\) è la matrice del cambiamento di base da \(B_1 \to B\)
Per tutte le considerazioni appena fatte, se hai la matrice associata ad una stessa base in partenza e in arrivo, sia questa \(B\), e vuoi cambiare da entrambi lati ad una nuova base (uguale in partenza e in arrivo),sia questa \(B_1\) chiamando X la matrice del cambiamento di base da \(B \to B_1\) ottieni la formula precedente, cioè:
\(A' = XAX^{-1}\)
"iTz_Ovah":
Ancora una volta puoi usare il cambiamento di base. Hai la possibilità di scrivere qual'è la matrice associata alla base \(\{(1,2), (2, 1)\}\) sia in partenza che in arrivo, che è ottenuta mettendo in colonna l'immagine degli elementi della base.
\(\left(\begin{array}{cc}
3 & 1 \\
0 & 2 \\
\end{array}\right)\)
OK mi è chiaro.
Per passare da una base uguale in partenza ed in arrivo ad una nuova puoi sfruttare la seguente:
\( A' = XAX^{-1} \) dove si indica con \(X\) la matrice del cambiamento di base da \(\{(1,2), (2, 1)\}\) a \(\{(1,0), (0, 1)\}\)
Questo non mi è chiarissimo perché nei miei appunti trovo scritto diversamente:
\( A' = M^{-1}AM \) dove:
$A:X->X$ applicazione lineare
$e_1,...,e_n$ e $e'_1,...,e'_n$ basi di $X$
$M$ matrice di cambio di base
$A$ matrice associata ad A ed alla base $e_1,...,e_n$
$A'$ matrice associata ad A ed alla base $e'_1,...,e'_n$
Sto forse dicendo la stessa cosa ma espressa in maniera diversa?
Grazie
"iTz_Ovah":
Ancora una volta puoi usare il cambiamento di base. Hai la possibilità di scrivere qual'è la matrice associata alla base \(\{(1,2), (2, 1)\}\) sia in partenza che in arrivo, che è ottenuta mettendo in colonna l'immagine degli elementi della base.
\(\left(\begin{array}{cc}
3 & 1 \\
0 & 2 \\
\end{array}\right)\)
OK mi è chiaro.
Per passare da una base uguale in partenza ed in arrivo ad una nuova puoi sfruttare la seguente:
\( A' = XAX^{-1} \) dove si indica con \(X\) la matrice del cambiamento di base da \(\{(1,2), (2, 1)\}\) a \(\{(1,0), (0, 1)\}\)
Questo non mi è chiarissimo perché nei miei appunti trovo scritto diversamente:
\( A' = M^{-1}AM \) dove:
$A:X->X$ applicazione lineare
$e_1,...,e_n$ e $e'_1,...,e'_n$ basi di $X$
$M$ matrice di cambio di base
$A$ matrice associata ad A ed alla base $e_1,...,e_n$
$A'$ matrice associata ad A ed alla base $e'_1,...,e'_n$
Sto forse dicendo la stessa cosa ma espressa in maniera diversa?
Questa la si ottiene disponendo in colonna gli elementi della base (solamente perché la nuova base è quella canonica).
Non capisco coe si possa ottenere la matrice cambio di base in quel modo perché io l'avrei dedotta risolvendo il seguente sistema:
$((1,2),(2, 1))=((1),(0))$
$((1,2),(2, 1))=((0),(1))$
Grazie
"zio_mangrovia":
Questo non mi è chiarissimo perché nei miei appunti trovo scritto diversamente:
\( A' = M^{-1}AM \) dove:
È esattamente lo stesso, con l'attenzione che hai scelto di scrivere la matrice \(M\) come quella di cambiamento di base da \(B_1 \to B\). Se è così allora a sinistra, avendo bisogno di quella del cambiamento da \(B \to B_1\), ci devi moltiplicare l'inversa (per il motivo che hai già visto) mentre a destra ci moltiplichi la \(M\) stessa.
"zio_mangrovia":
Non capisco come si possa ottenere la matrice cambio di base in quel modo
Grazie
Semplicemente deriva dal fatto che \((1, 2) = 1(1,0)+2(0,1)\) il ché implica che le sue coordinate rispetto alla nuova base sono \((1,2)\). Stesso discorso per il rimanente. Mettendo in colonna le immagini nell'ordine in cui sono disposti gli elementi della base ottieni la matrice
\(\left(\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
2 & 1 \\
\end{array}\right)\)
Quella che otterresti facendo come hai indicato è esattamente l'inversa di questa matrice. Nel caso, poiché è più semplice ricavare quella sopra, ti conviene il mio approccio. In genere quello che fai tu non è sbagliato. Otterresti appunto la matrice
\(\left(\begin{array}{cc}
-\frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\
\frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \\
\end{array}\right)\)
Poi dovresti calcolarne l'inversa, che sarebbe appunto quella precedente.
Nota infatti che:
\( -\frac{1}{3}(1, 2) + \frac{2}{3}(2, 1) = (-\frac{1}{3}, -\frac{2}{3}) + (\frac{4}{3}, \frac{2}{3}) = (\frac{3}{3}, \frac{0}{3}) = (1, 0) \)
\( \frac{2}{3}(1, 2) -\frac{1}{3}(2, 1) = (\frac{2}{3}, \frac{4}{3}) + (-\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}) = (\frac{0}{3}, \frac{3}{3}) = (0, 1) \)
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