Grafico applicazione chiusa tra due spazi compatti T2
Salve a tutti, sono alle prese con un esercizio del Manetti :
L'esercizio chiede di dimostrare che un applicazione tra due spazi compatti e T2 è continua se e solo se il grafico è chiuso nel prodotto.
Considero la funzione da X in Y
Siano X Y gli spazi topologici per la prima freccia (f continua implica grafico chiuso) avevo pensato di dimostrare che il grafico è compatto e quindi mostrare che un compatto in uno spazio T2 è chiuso (infatti il prodotto di due T2 è T2).
Il problema sorge quando devo dimostrare la compattezza: Pensavo di prendere un qualsiasi ricoprimento aperto del grafico, allora ciascun elemento di questo ricoprimento essendo aperto è formato per topologia prodotto da una coppia ordinata di due aperti il cui primo aperto è ottenuto dalla base della topologia sul primo spazio ed il secondo da una base della topologia sul secondo spazio. Pensavo di usare la continuità per esempio su ciascun aperto dello spazio Y così trovato, "buttarli indietro" con f, ottenere quindi degli aperti che ricoprono X (e quindi ne basta un numero finito) e trovarne anche un numero finito sulla seconda componente. Il problema sorge dal fatto che niente mi assicura che quando io "mando indietro" un aperto da Y trovo poi un aperto che sta da qualche parte nelle coppie ordinate del mio ricoprimento di partenza, di conseguenza alla fine non riesco a trovare un sottoricoprimento per il ricoprimento di partenza.
Ho provato a ragionare in maniera simile, ma prendendo gli aperti tra i vari intorni che separano un qualsiasi punto che non appartiene al grafico ed i vari punti del grafico (per mostrare che ogni punto del complementare ha un intorno che non interseca il grafico e che quindi il complementare è aperto) ma quando vado a fare i ragionamenti per andare a trovarne un numero finito ho sempre gli stessi problemi (il numero finito mi serve per poter fare un intersezione e trovare un aperto)
Probabilmente ho capito male qualche argomento, ringrazio in anticipo per qualsiasi delucidazione e/o aiuto!
L'esercizio chiede di dimostrare che un applicazione tra due spazi compatti e T2 è continua se e solo se il grafico è chiuso nel prodotto.
Considero la funzione da X in Y
Siano X Y gli spazi topologici per la prima freccia (f continua implica grafico chiuso) avevo pensato di dimostrare che il grafico è compatto e quindi mostrare che un compatto in uno spazio T2 è chiuso (infatti il prodotto di due T2 è T2).
Il problema sorge quando devo dimostrare la compattezza: Pensavo di prendere un qualsiasi ricoprimento aperto del grafico, allora ciascun elemento di questo ricoprimento essendo aperto è formato per topologia prodotto da una coppia ordinata di due aperti il cui primo aperto è ottenuto dalla base della topologia sul primo spazio ed il secondo da una base della topologia sul secondo spazio. Pensavo di usare la continuità per esempio su ciascun aperto dello spazio Y così trovato, "buttarli indietro" con f, ottenere quindi degli aperti che ricoprono X (e quindi ne basta un numero finito) e trovarne anche un numero finito sulla seconda componente. Il problema sorge dal fatto che niente mi assicura che quando io "mando indietro" un aperto da Y trovo poi un aperto che sta da qualche parte nelle coppie ordinate del mio ricoprimento di partenza, di conseguenza alla fine non riesco a trovare un sottoricoprimento per il ricoprimento di partenza.
Ho provato a ragionare in maniera simile, ma prendendo gli aperti tra i vari intorni che separano un qualsiasi punto che non appartiene al grafico ed i vari punti del grafico (per mostrare che ogni punto del complementare ha un intorno che non interseca il grafico e che quindi il complementare è aperto) ma quando vado a fare i ragionamenti per andare a trovarne un numero finito ho sempre gli stessi problemi (il numero finito mi serve per poter fare un intersezione e trovare un aperto)
Probabilmente ho capito male qualche argomento, ringrazio in anticipo per qualsiasi delucidazione e/o aiuto!
Risposte
Semplifico un po' il ragionamento: sia \(\displaystyle f:X\to Y\), allora si può considerare la funzione grafico
\[
\Gamma_f:x\in X\to(x,f(x))\in X\times Y;
\]
e in generale, \(\displaystyle\Gamma_f\) è una funzione iniettiva.
Primo Trucco: se \(\displaystyle f\) è continua allora \(\displaystyle\Gamma_f\) è continua, e nelle date ipotesi il grafico di \(\displaystyle f\) è un sottoinsieme chiuso di \(\displaystyle X\times Y\).
Secondo Trucco: se il grafico di \(\displaystyle f\) è un sottoinsieme chiuso di \(\displaystyle X\times Y\), allora \(\displaystyle\Gamma_f\) è una funzione chiusa; in particolare \(\displaystyle f\) è una funzione chiusa.
Considerate le proiezioni
\[
pr_1:(x,f(x))\in\Gamma_f(X)\to x\in X\\
pr_2:(x,f(x))\in\Gamma_f(X)\to f(x)\in Y
\]
si ha che che \(\displaystyle f=pr_2\circ pr_1^{-1}\); essendo \(\displaystyle f\) una funzione composta di funzioni continue, si ha che \(\displaystyle f\) è una funzione continua.
Perché?
\[
\Gamma_f:x\in X\to(x,f(x))\in X\times Y;
\]
e in generale, \(\displaystyle\Gamma_f\) è una funzione iniettiva.
Primo Trucco: se \(\displaystyle f\) è continua allora \(\displaystyle\Gamma_f\) è continua, e nelle date ipotesi il grafico di \(\displaystyle f\) è un sottoinsieme chiuso di \(\displaystyle X\times Y\).
Secondo Trucco: se il grafico di \(\displaystyle f\) è un sottoinsieme chiuso di \(\displaystyle X\times Y\), allora \(\displaystyle\Gamma_f\) è una funzione chiusa; in particolare \(\displaystyle f\) è una funzione chiusa.
Considerate le proiezioni
\[
pr_1:(x,f(x))\in\Gamma_f(X)\to x\in X\\
pr_2:(x,f(x))\in\Gamma_f(X)\to f(x)\in Y
\]
si ha che che \(\displaystyle f=pr_2\circ pr_1^{-1}\); essendo \(\displaystyle f\) una funzione composta di funzioni continue, si ha che \(\displaystyle f\) è una funzione continua.
Perché?
Prima di tutto grazie mille per l'aiuto, provo a giustificare quello che mi hai suggerito:
Primo trucco : $ Gamma _f $ è continua perchè $f$ è chiusa visto che è un applicazione continua tra uno spazio compatto ed uno $T_2$. Quindi ogni chiuso di $X x Y$ si "scrive" come un chiuso dello spazio $X$ ed uno dello spazio $Y$ ed è chiaro quindi che ogni $f(C)$ con $C$ chiuso è un chiuso per la topologia prodotto. (Non sono sicuro se debba estendere il ragionamento a tutto $X x Y$ , in quel caso credo non funzioni). Segue quindi che essendo l'immagine di $ Gamma _f $ proprio il grafico ed essendo $ Gamma _f $ chiusa (anche lei va da un compatto ad uno spazio $T_2$ dato dalla topologia prodotto) si conclude che il grafico deve essere chiuso.
Secondo trucco: Le due proiezioni dovrebbero essere continue perchè sono restrizioni ad un sottospazio della topologia prodotto $ X x f(X) $ che è compatta e $T_2$ , quindi non sono altro che restrizioni ad un ulteriore sottospazio di due proiezioni che dalla teoria sappiamo già essere continue.
$f$ è chiusa perchè fondamentalmente è composizione delle due proiezioni che sono proiezioni che vanno da uno spazio prodotto con i due termini compatti.
In realtà non capiso a cosa ci serva il fatto che f sia chiusa nel secondo trucco, non possiamo trovare la continuità semplicemente dalle proiezioni?
Grazie mille per la pazienza
Primo trucco : $ Gamma _f $ è continua perchè $f$ è chiusa visto che è un applicazione continua tra uno spazio compatto ed uno $T_2$. Quindi ogni chiuso di $X x Y$ si "scrive" come un chiuso dello spazio $X$ ed uno dello spazio $Y$ ed è chiaro quindi che ogni $f(C)$ con $C$ chiuso è un chiuso per la topologia prodotto. (Non sono sicuro se debba estendere il ragionamento a tutto $X x Y$ , in quel caso credo non funzioni). Segue quindi che essendo l'immagine di $ Gamma _f $ proprio il grafico ed essendo $ Gamma _f $ chiusa (anche lei va da un compatto ad uno spazio $T_2$ dato dalla topologia prodotto) si conclude che il grafico deve essere chiuso.
Secondo trucco: Le due proiezioni dovrebbero essere continue perchè sono restrizioni ad un sottospazio della topologia prodotto $ X x f(X) $ che è compatta e $T_2$ , quindi non sono altro che restrizioni ad un ulteriore sottospazio di due proiezioni che dalla teoria sappiamo già essere continue.
$f$ è chiusa perchè fondamentalmente è composizione delle due proiezioni che sono proiezioni che vanno da uno spazio prodotto con i due termini compatti.
In realtà non capiso a cosa ci serva il fatto che f sia chiusa nel secondo trucco, non possiamo trovare la continuità semplicemente dalle proiezioni?
Grazie mille per la pazienza
Fermi tutti: ma \(\displaystyle X\) e \(\displaystyle Y\) sono entrambi compatti di Hausdorff?
Si lo sono entrambi!
"polveregoz":Potresti giustificare meglio questa affermazione?
...$ Gamma _f $ è continua perchè $f$ è chiusa...
Credo di dire una stupidaggine, ma magari è continua perchè lo è sulle componenti? Nel senso che da un lato è l'identità e dall'altro lato è un applicazione continua. Non riesco ad utilizzare la definizione. 
Non è assolutamente una stupidaggine: si chiama proprietà universale del prodotto topologico!
Grazie mille allora! Dovrò fare altri esercizi per prendere più dimestichezza con i concetti
Non ho finito con le mie obiezioni 
Perché, nel secondo trucco, \(\displaystyle\Gamma_f\) è un chiusa?
Perché, nel secondo trucco, \(\displaystyle\Gamma_f\) è un chiusa?
Direi $ f $ chiusa perchè è un applicazione continua per ipotesi da uno spazio compatto ad uno $ T_2 $, a questo punto sfrutto di nuovo la proprietà universale del prodotto topologico. E' corretto?
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