Teoria: forme quadratiche, legame tra autovalori e definitezza
C'è una parte di teoria che mi rimane poco chiara proprio perché sia la professoressa che il libro non la trattano in maniera molto approfondita.
Sono alla ricerca della dimostrazione o qualcosa che mi riesca a spiegare il legame tra forme definite, semidefinite e indefinite e gli autovalori.
MI è chiara la parte dove si dice che:
La forma quadratica è:
-Definita positiva se Q(x) è maggiore uguale a zero con il caso Q(x)=0 se e solo se x=0
- Semidefinita positiva se Q(x) è maggiore uguale a zero (senza condizione in cui Q(x)=0 se e solo se x=0, posso cioè avere isotropi diversi dal solo vettore nullo)
- Indefinita se Q(x) ha segno variabile al variare di x
Come dicevo fin qua tutto ok, in una seconda parte però dice che per stabilire se è definita o indefinita si può usare un altro metodo:
- Q è definita positiva se e solo se tutti gli autovalori di A sono strettamente positivi (con A matrice associata a questa forma)
- Q è definita semipositiva se e solo se tutti gli autovalori di A sono maggiori o uguali a zero
- Q indefinita se e solo se la matrice A ha autovalori discordi in segno
Non trovo però da nessuna parte dove si mostri tale legame nei due modi di definire la definitezza. Perché se l'autovalore ha valori positivi e non è 0 allora è sicuramente definita positiva, e perché quando lambda ha segni discordi allora è indefinita e altre domande simili.
Grazie per l'aiuto.
Sono alla ricerca della dimostrazione o qualcosa che mi riesca a spiegare il legame tra forme definite, semidefinite e indefinite e gli autovalori.
MI è chiara la parte dove si dice che:
La forma quadratica è:
-Definita positiva se Q(x) è maggiore uguale a zero con il caso Q(x)=0 se e solo se x=0
- Semidefinita positiva se Q(x) è maggiore uguale a zero (senza condizione in cui Q(x)=0 se e solo se x=0, posso cioè avere isotropi diversi dal solo vettore nullo)
- Indefinita se Q(x) ha segno variabile al variare di x
Come dicevo fin qua tutto ok, in una seconda parte però dice che per stabilire se è definita o indefinita si può usare un altro metodo:
- Q è definita positiva se e solo se tutti gli autovalori di A sono strettamente positivi (con A matrice associata a questa forma)
- Q è definita semipositiva se e solo se tutti gli autovalori di A sono maggiori o uguali a zero
- Q indefinita se e solo se la matrice A ha autovalori discordi in segno
Non trovo però da nessuna parte dove si mostri tale legame nei due modi di definire la definitezza. Perché se l'autovalore ha valori positivi e non è 0 allora è sicuramente definita positiva, e perché quando lambda ha segni discordi allora è indefinita e altre domande simili.
Grazie per l'aiuto.
Risposte
Questo discorso vale per forme bilineari simmetriche, ed è una conseguenza del teorema spettrale per matrici simmetriche.
Detto questo, il tuo post è migliorabile:
1) chi è \(Q\)?
2) prima di postare, ti sei riletto? Non credo, perché questa roba:
è completamente senza senso.
Detto questo, il tuo post è migliorabile:
1) chi è \(Q\)?
2) prima di postare, ti sei riletto? Non credo, perché questa roba:
Non trovo però da nessuna parte dove si mostri tale legame nei due modi di definire la definitezza. Perché se l'autovalore ha valori positivi e non è 0 allora è sicuramente definita positiva, e perché quando lambda ha segni discordi allora è indefinita e altre domande simili.
è completamente senza senso.
Perdonami, ti rispondo subito:
1) Con Q(x) il mio professore indica la forma quadratica, ho utilizzato la stessa simbologia non pensando che in effetti poteva non essere chiaro. Pensavo fosse sempre indicata così.
2)In questo punto volevo esemplificare un dubbio che sorge dal non capire il legame sussistente tra autovalori e forme quadratiche definite, semidefinite e non definite. In pratica chiedevo: perché se l'autovalore ha valori strettamente positivi è sicuramente positiva?
Perché quando l'autovalore ha segni discordi allora è indefinita?
Mi dicevi che deriva quindi dal "teorema spettrale per matrici simmetriche"?
Il punto è che non mi è stato mostrato questo legame e brancolo un po' nel buio. Mi piacerebbe riuscire a chiarire meglio questa parte, dove potrei trovare la dimostrazione per giungere a far combaciare le due definizioni che mi sono state date?
Grazie dissonance
1) Con Q(x) il mio professore indica la forma quadratica, ho utilizzato la stessa simbologia non pensando che in effetti poteva non essere chiaro. Pensavo fosse sempre indicata così.
2)In questo punto volevo esemplificare un dubbio che sorge dal non capire il legame sussistente tra autovalori e forme quadratiche definite, semidefinite e non definite. In pratica chiedevo: perché se l'autovalore ha valori strettamente positivi è sicuramente positiva?
Perché quando l'autovalore ha segni discordi allora è indefinita?
Mi dicevi che deriva quindi dal "teorema spettrale per matrici simmetriche"?
Il punto è che non mi è stato mostrato questo legame e brancolo un po' nel buio. Mi piacerebbe riuscire a chiarire meglio questa parte, dove potrei trovare la dimostrazione per giungere a far combaciare le due definizioni che mi sono state date?
Definizione1
-Definita positiva se Q(x) è maggiore uguale a zero con il caso Q(x)=0 se e solo se x=0
- Semidefinita positiva se Q(x) è maggiore uguale a zero (senza condizione in cui Q(x)=0 se e solo se x=0, posso cioè avere isotropi diversi dal solo vettore nullo)
- Indefinita se Q(x) ha segno variabile al variare di x
Definizione 2
- Q è definita positiva se e solo se tutti gli autovalori di A sono strettamente positivi (con A matrice associata a questa forma)
- Q è definita semipositiva se e solo se tutti gli autovalori di A sono maggiori o uguali a zero
- Q indefinita se e solo se la matrice A ha autovalori discordi in segno
Grazie dissonance
"lillio":"La" forma quadratica QUALE? Suppongo che tu abbia uno spazio vettoriale \(V\) di dimensione finita \(n\) e una forma bilineare \(B\colon V\times V\to \mathbb R\), e \(Q\colon V\times \mathbb R\) è definita da
Perdonami, ti rispondo subito:
1) Con Q(x) il mio professore indica la forma quadratica, ho utilizzato la stessa simbologia non pensando che in effetti poteva non essere chiaro. Pensavo fosse sempre indicata così.
\[
Q(v):=B(v, v),\quad v\in V.
\]
Ma queste cose le devi specificare tu!!! Non posso tirare a indovinare.
"L'autovalore ha segni discordi" è una affermazione completamente priva di senso. Anche qui, devi fare attenzione a ciò che scrivi! Scrivi con precisione.
In pratica chiedevo: perché se l'autovalore ha valori strettamente positivi è sicuramente positiva?
Perché quando l'autovalore ha segni discordi allora è indefinita?
Definizione1
-Definita positiva se Q(x) è maggiore uguale a zero con il caso Q(x)=0 se e solo se x=0
- Semidefinita positiva se Q(x) è maggiore uguale a zero (senza condizione in cui Q(x)=0 se e solo se x=0, posso cioè avere isotropi diversi dal solo vettore nullo)
- Indefinita se Q(x) ha segno variabile al variare di x
Definizione 2
- Q è definita positiva se e solo se tutti gli autovalori di A sono strettamente positivi (con A matrice associata a questa forma)
- Q è definita semipositiva se e solo se tutti gli autovalori di A sono maggiori o uguali a zero
- Q indefinita se e solo se la matrice A ha autovalori discordi in segno
Ho già risposto a questa domanda, è una conseguenza del teorema spettrale. Non bruciare le tappe, prima o poi lo studierai e ti sarà tutto chiaro. Pensa piuttosto a colmare le tue lacune in matematica fondamentale, sfozati di ragionare in modo più ordinato.
"dissonance":
Pensa piuttosto a colmare le tue lacune in matematica fondamentale.
Come posso recuperare? Mi sento ignorante sebbene provenga da un liceo scientifico
Voglio assolutamente riuscirci..
Non sei affatto ignorante, al contrario, hai sete di apprendere cose nuove e questo è un bene, ma meglio sforzarsi adesso sull'ABC. Quando scrivi un post, preoccupati che tutti i simboli che usi siano stati definiti, a meno che non siano proprio ovvi (non occorre definire ogni volta cosa significhi \(+\), ad esempio). Usa le formule, cerca di essere sintetico e poni domande precise.
MI piacerebbe chiederti un'ultima cosa.
Avevo aperto una seconda domanda ma essendo simile a questa forse è meglio non separare le discussioni.
Ci provo:
Sia $\phi$ una forma bilineare simmetrica $\phi: V×V->R$ e Q la sua formabilineare simmetrica associata: $Q: V ->R, x-> \phi(x,x)$
Creo poi la matrice associata a $Q$ che è la matrice associata anche a $\phi$
Mi si pongono queste due domande:
1) Esistono forme quadratiche che hanno vettori isotropi ma che hanno autovalori tutti diversi da zero?
Mia risposta: Si
2) Studiando il polinomio caratteristico e trovando gli autovalori della matrice associata alla forma quadratica (mettiamo sia indefinita) come faccio a capire se è degenere? Che valore deve assumere un autovalore per poter concludere che è certamente degenere la forma quadratica?
Risposta: deve esserci almeno un autovalore trovato dal polinomio caratteristico che ha valore zero.
E' corretto? Non saprei come rispondere in modo più approfondito.
Ti ringrazio, spero avrai voglia di rispondermi ancora
Avevo aperto una seconda domanda ma essendo simile a questa forse è meglio non separare le discussioni.
Ci provo:
Sia $\phi$ una forma bilineare simmetrica $\phi: V×V->R$ e Q la sua formabilineare simmetrica associata: $Q: V ->R, x-> \phi(x,x)$
Creo poi la matrice associata a $Q$ che è la matrice associata anche a $\phi$
Mi si pongono queste due domande:
1) Esistono forme quadratiche che hanno vettori isotropi ma che hanno autovalori tutti diversi da zero?
Mia risposta: Si
2) Studiando il polinomio caratteristico e trovando gli autovalori della matrice associata alla forma quadratica (mettiamo sia indefinita) come faccio a capire se è degenere? Che valore deve assumere un autovalore per poter concludere che è certamente degenere la forma quadratica?
Risposta: deve esserci almeno un autovalore trovato dal polinomio caratteristico che ha valore zero.
E' corretto? Non saprei come rispondere in modo più approfondito.
Ti ringrazio, spero avrai voglia di rispondermi ancora
Guarda, c'è un problema ancora più fondamentale che uno dovrebbe porsi. Una forma quadratica ha più di una matrice associata: prendendo due basi diverse si trovano due matrici diverse. Tali matrici hanno, in generale, autovalori diversi.
Quindi non puoi parlare di "autovalori" di una forma quadratica, in generale.
Se però, invece che su uno spazio vettoriale arbitrario, sei su uno spazio a prodotto scalare (concetto più avanzato, che vedrai), allora puoi recuperare qualcosa. Non ha senso parlare di autovalori di una forma quadratica, ma ha senso parlare di "segno" degli autovalori, nel senso che pur cambiando base gli autovalori cambiano ma non il loro segno.
Tutte cose che vedrai a tempo debito.
Quindi non puoi parlare di "autovalori" di una forma quadratica, in generale.
Se però, invece che su uno spazio vettoriale arbitrario, sei su uno spazio a prodotto scalare (concetto più avanzato, che vedrai), allora puoi recuperare qualcosa. Non ha senso parlare di autovalori di una forma quadratica, ma ha senso parlare di "segno" degli autovalori, nel senso che pur cambiando base gli autovalori cambiano ma non il loro segno.
Tutte cose che vedrai a tempo debito.
Ma di solito vengono affrontati nel primo corso di algebra lineare 1?
Me lo chiedo perché ormai mancano le poche lezioni di gennaio e finisce il corso e a me pare questa parte sia stata trattata poco approfonditamente. Non capisco quindi se devo colmare io questo vuoto o sia normale che si fa negli anni successivi..
Grazie delle dritte e di tutto!
Me lo chiedo perché ormai mancano le poche lezioni di gennaio e finisce il corso e a me pare questa parte sia stata trattata poco approfonditamente. Non capisco quindi se devo colmare io questo vuoto o sia normale che si fa negli anni successivi..
Grazie delle dritte e di tutto!
Appunto, se non fa parte del programma sicuramente lo vedrai nel modulo successivo. Ti sconsiglio di disperderti adesso, segui il programma del corso, come diceva un mio professore "c'è tempo per diventare bravi".
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