Proiezione ortogonale su sottospazio vettoriale, sono confuso
Salve a tutti, vi propongo il dubbio che mi tormenta da un bel po' di tempo. Dovete sapere che sto preparando l'esame di Geometria e algebra lineare, e utilizzando l'eserciziario del professore mi sono imbattuto in "metodi contrastanti" forniti come soluzione a due problemi riguardo a quanto espresso nel titolo. Riporto quanto mi tormenta.
Esercizio 6.48: Sia \(f: \displaystyle \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^4 \) definita da:
\( f(x,y,z) = (2x - y +z, x + 3y -2z, 1 + ky + 3z, -3x + (1-k)y + kz) \)
Determina i valori di K tali per cui f non sia iniettiva. In corrispondenza di tali valori determinare una base dell'immagine e completarla in modo da ottenere una base di \( \mathbb{R}^4 \). Determinare dunque una base del nucleo di f e la matrica associata rispetto alla base canonica alla proiezione ortogonale \(\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\) su tale sottospazio.
Soluzione: [ ... ] Si trova che una base del nucleo è data da \( (1, -5, -7) \) (Fino a qui mi torna tranquillamente).
La proiezione ortogonale \( \pi \) di \((x, y, z)\) su \((1, -5, -7)\) è data da:
\(\frac{(x,y,z) * (1, -5, -7)}{5\sqrt{5}} \) \((1, -5, -7)\), da cui:
\(\pi((1, 0, 0)) = \frac{1}{5\sqrt{5}} \) \((1,-5,-7)\)
\(\pi((0, 1, 0)) = \frac{-1}{\sqrt{5}} \) \((1,-5,-7)\)
\(\pi((0, 0, 1)) = \frac{-7}{5\sqrt{5}} \) \((1,-5,-7)\)
Già qui non capisco perché compare al denominatore \(\sqrt{125}\) invece che il modulo al quadrato del vettore su cui si sta proiettando, cioè \(75\). La mia perplessità raddoppia al visualizzare la soluzione di un nuovo esercizio:
Esercizio 6.61: Siano \(v = (1,2,h), w = (1,1,1), t = (-1, 0, 1) \)
Si determini h in modo che i vettori siano linearmente dipendenti.
Sia \(f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 \) una applicazione lineare tale che \(f(v) = (1,1,0), f(w) = (0, 1, 1)\). Si determini f(t). Supponendo che \( f(1,2,1) = (2,1,-1) \) si determini una base del nucleo ed una dell'immagine di f. Determinare la matrice associata rispetto alla base canonica associata alla proiezione ortogonale \(\mathbb{R}^3 \to ker(f) \)
Soluzione: [...] Si ricava che il nucleo è formato dai vettori della forma:
\( -2z(1,2,3) + z(1,1,1) +z(1,2 1) = z(0, -1, -4) \). La proiezione ortogonale di un vettore \((x,y,z)\) sulla retta passante per l'origine e parallela a \((0,-1,-4)\) è data da:
\((x,y,z) \to (x,y,z) - (\frac{(x,y,z) * (0, -1, -4)}{|(0, -1, -4)|^2}) ((0, -1, -4)\), da cui:
\((x,y,z) \to (x, \frac{18y + 4z}{17}, \frac{4y + 21z}{17}) \)
La matrice associata rispetto alla base canonica è quindi:
\( \left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & \frac{18}{17} & \frac{4}{17} \\
0 & \frac{4}{17} & \frac{21}{17} \\
\end{array}\right)\)
Commento: Ma è mai possibile che sia questa? Una proiezione ortogonale \(\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\) su una retta dovrebbe avere un nucleo di dimensione 2, il ché non avviene affatto. (la precedente ha rango 2).
Alla fine qual'è tra i due il procedimento giusto? E perché?
Grazie per la pazienza!
Esercizio 6.48: Sia \(f: \displaystyle \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^4 \) definita da:
\( f(x,y,z) = (2x - y +z, x + 3y -2z, 1 + ky + 3z, -3x + (1-k)y + kz) \)
Determina i valori di K tali per cui f non sia iniettiva. In corrispondenza di tali valori determinare una base dell'immagine e completarla in modo da ottenere una base di \( \mathbb{R}^4 \). Determinare dunque una base del nucleo di f e la matrica associata rispetto alla base canonica alla proiezione ortogonale \(\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\) su tale sottospazio.
Soluzione: [ ... ] Si trova che una base del nucleo è data da \( (1, -5, -7) \) (Fino a qui mi torna tranquillamente).
La proiezione ortogonale \( \pi \) di \((x, y, z)\) su \((1, -5, -7)\) è data da:
\(\frac{(x,y,z) * (1, -5, -7)}{5\sqrt{5}} \) \((1, -5, -7)\), da cui:
\(\pi((1, 0, 0)) = \frac{1}{5\sqrt{5}} \) \((1,-5,-7)\)
\(\pi((0, 1, 0)) = \frac{-1}{\sqrt{5}} \) \((1,-5,-7)\)
\(\pi((0, 0, 1)) = \frac{-7}{5\sqrt{5}} \) \((1,-5,-7)\)
Già qui non capisco perché compare al denominatore \(\sqrt{125}\) invece che il modulo al quadrato del vettore su cui si sta proiettando, cioè \(75\). La mia perplessità raddoppia al visualizzare la soluzione di un nuovo esercizio:
Esercizio 6.61: Siano \(v = (1,2,h), w = (1,1,1), t = (-1, 0, 1) \)
Si determini h in modo che i vettori siano linearmente dipendenti.
Sia \(f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 \) una applicazione lineare tale che \(f(v) = (1,1,0), f(w) = (0, 1, 1)\). Si determini f(t). Supponendo che \( f(1,2,1) = (2,1,-1) \) si determini una base del nucleo ed una dell'immagine di f. Determinare la matrice associata rispetto alla base canonica associata alla proiezione ortogonale \(\mathbb{R}^3 \to ker(f) \)
Soluzione: [...] Si ricava che il nucleo è formato dai vettori della forma:
\( -2z(1,2,3) + z(1,1,1) +z(1,2 1) = z(0, -1, -4) \). La proiezione ortogonale di un vettore \((x,y,z)\) sulla retta passante per l'origine e parallela a \((0,-1,-4)\) è data da:
\((x,y,z) \to (x,y,z) - (\frac{(x,y,z) * (0, -1, -4)}{|(0, -1, -4)|^2}) ((0, -1, -4)\), da cui:
\((x,y,z) \to (x, \frac{18y + 4z}{17}, \frac{4y + 21z}{17}) \)
La matrice associata rispetto alla base canonica è quindi:
\( \left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & \frac{18}{17} & \frac{4}{17} \\
0 & \frac{4}{17} & \frac{21}{17} \\
\end{array}\right)\)
Commento: Ma è mai possibile che sia questa? Una proiezione ortogonale \(\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\) su una retta dovrebbe avere un nucleo di dimensione 2, il ché non avviene affatto. (la precedente ha rango 2).
Alla fine qual'è tra i due il procedimento giusto? E perché?
Grazie per la pazienza!
Risposte
Per quanto riguarda il primo esercizio, a me risulta:
$\pi=((sqrt3/15),(-sqrt3/3),(-(7sqrt3)/15))((sqrt3/15,-sqrt3/3,-(7sqrt3)/15))=((1/75,-1/15,-7/75),(-1/15,1/3,7/15),(-7/75,7/15,49/75))$
$\pi=((sqrt3/15),(-sqrt3/3),(-(7sqrt3)/15))((sqrt3/15,-sqrt3/3,-(7sqrt3)/15))=((1/75,-1/15,-7/75),(-1/15,1/3,7/15),(-7/75,7/15,49/75))$
"anonymous_0b37e9":
Per quanto riguarda il primo esercizio, a me risulta:
$\pi=((sqrt3/15),(-sqrt3/3),(-(7sqrt3)/15))((sqrt3/15,-sqrt3/3,-(7sqrt3)/15))=((1/75,-1/15,-7/75),(-1/15,1/3,7/15),(-7/75,7/15,49/75))$
Come sei pervenuto a questo risultato? (non riesco a seguire il ragionamento, magari mi sono perso qualcosa di stupido). Se la memoria non mi inganna il prodotto scalare tra due vettori non è una matrice ma uno scalare...
Si tratta del modo più immediato per ricavare, mediante l'usuale prodotto di matrici riga per colonna:
$\pi_v=((v_x),(v_y),(v_z))((v_x,v_y,v_z))$
la matrice 3x3 associata all'operatore di proiezione lungo il versore di componenti $(v_x,v_y,v_z)$.
$\pi_v=((v_x),(v_y),(v_z))((v_x,v_y,v_z))$
la matrice 3x3 associata all'operatore di proiezione lungo il versore di componenti $(v_x,v_y,v_z)$.
"anonymous_0b37e9":
Si tratta del modo più immediato per ricavare, mediante l'usuale prodotto di matrici riga per colonna:
$\pi_v=((v_x),(v_y),(v_z))((v_x,v_y,v_z))$
la matrice 3x3 associata all'operatore di proiezione lungo il versore di componenti $(v_x,v_y,v_z)$.
Ci sto per rinunciare... adesso ne so meno di prima!
Si tratta solo di un modo più veloce. Altrimenti:
$\pi((x),(y),(z))=(sqrt3/15x-sqrt3/3y-(7sqrt3)/15z)((sqrt3/15),(-sqrt3/3),(-(7sqrt3)/15))=((1/75x-1/15y-7/75z),(-1/15x+1/3y+7/15z),(-7/75x+7/15y+49/75z)) rarr$
$rarr [\pi((1),(0),(0))=((1/75),(-1/15),(-7/75))] ^^ [\pi((0),(1),(0))=((-1/15),(1/3),(7/15))] ^^ [\pi((0),(0),(1))=((-7/75),(7/15),(49/75))] rarr$
$rarr \pi=((1/75,-1/15,-7/75),(-1/15,1/3,7/15),(-7/75,7/15,49/75))$
$\pi((x),(y),(z))=(sqrt3/15x-sqrt3/3y-(7sqrt3)/15z)((sqrt3/15),(-sqrt3/3),(-(7sqrt3)/15))=((1/75x-1/15y-7/75z),(-1/15x+1/3y+7/15z),(-7/75x+7/15y+49/75z)) rarr$
$rarr [\pi((1),(0),(0))=((1/75),(-1/15),(-7/75))] ^^ [\pi((0),(1),(0))=((-1/15),(1/3),(7/15))] ^^ [\pi((0),(0),(1))=((-7/75),(7/15),(49/75))] rarr$
$rarr \pi=((1/75,-1/15,-7/75),(-1/15,1/3,7/15),(-7/75,7/15,49/75))$
Allora c'è qualcosa che non va nel mio cervello: la proiezione ortogonale di un vettore \(v\) su un altro \(u\) per me è data da questa formula:
[size=150]\( \frac{}{ } u \)[/size]
Da cui:
\(f(1, 0, 0) = \frac{1}{75} (1,-5, -7) \)
\(f(0, 1, 0) = -\frac{5}{75} (1,-5, -7) \)
\(f(0, 0, 1) = -\frac{7}{75} (1,-5, -7) \)
[size=150]\( \frac{
Da cui:
\(f(1, 0, 0) = \frac{1}{75} (1,-5, -7) \)
\(f(0, 1, 0) = -\frac{5}{75} (1,-5, -7) \)
\(f(0, 0, 1) = -\frac{7}{75} (1,-5, -7) \)
Appunto:
"anonymous_0b37e9":
$[\pi((1),(0),(0))=((1/75),(-1/15),(-7/75))] ^^ [\pi((0),(1),(0))=((-1/15),(1/3),(7/15))] ^^ [\pi((0),(0),(1))=((-7/75),(7/15),(49/75))]$
"anonymous_0b37e9":[/quote]
Appunto:
[quote="anonymous_0b37e9"]
$[\pi((1),(0),(0))=((1/75),(-1/15),(-7/75))] ^^ [\pi((0),(1),(0))=((-1/15),(1/3),(7/15))] ^^ [\pi((0),(0),(1))=((-7/75),(7/15),(49/75))]$
OK. Ma come si giustifica allora la risposta al secondo esercizio?
A me pare la proiezione sul complemento ortogonale del nucleo.
"anonymous_0b37e9":
A me pare la proiezione sul complemento ortogonale del nucleo.
Cavolo, è proprio la forma della proiezione su un piano avente per normale il nucleo, ma è mai possibile?
Comunque la matrice associata non può essere quella, dato che ha autovalori \( \frac{1}{34}(39 + \sqrt{73}), \frac{1}{34}(39 - \sqrt{73}), 1.\)
Non saprei cosa dire.
Ad ogni modo, anche interpretando come si è detto, la matrice di cui sopra è sbagliata, visto che dovrebbe mandare $(0,-1,-4)$ nel vettore nullo.
"iTz_Ovah":
La matrice associata rispetto alla base canonica è quindi:
\( \left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & \frac{18}{17} & \frac{4}{17} \\
0 & \frac{4}{17} & \frac{21}{17} \\
\end{array}\right)\)
Ad ogni modo, anche interpretando come si è detto, la matrice di cui sopra è sbagliata, visto che dovrebbe mandare $(0,-1,-4)$ nel vettore nullo.
"anonymous_0b37e9":
Non saprei cosa dire.
[quote="iTz_Ovah"]
La matrice associata rispetto alla base canonica è quindi:
\( \left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & \frac{18}{17} & \frac{4}{17} \\
0 & \frac{4}{17} & \frac{21}{17} \\
\end{array}\right)\)
Ad ogni modo, anche interpretando come si è detto, la matrice di cui sopra è sbagliata, visto che dovrebbe mandare $(0,-1,-4)$ nel vettore nullo.[/quote]
Era proprio ciò che intendevo dire: la matrice non può essere quella! La proiezione ortogonale ha autovalori 1, 0 con molteplicità algebrica e geometrica rispettivamente pari alla dimensione del sottospazio su cui si proietta, e dimensione del suo complemento ortogonale-
Premesso che non so da dove provengano le soluzioni che hai illustrato nel tuo primo messaggio, mi sembra che i contenuti ti siano sufficientemente chiari. Non credo valga la pena scervellarsi più di tanto.
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