Dualità spazi vettoriali
Ciao a tutti, ho un grosso dubbio.
Parlando di spazi vettoriali duali, il mio professore (di meccanica analitica) indica un funzionale lineare $\eta$ così:
\[ \eta \in V^* \quad \eta : V \rightarrow R \]
\[ v \mapsto \eta(v) =\]
e fin qui ci sono. Poi però, simmetricamente, indica un elemento $v$ dello spazio vettoriale $V$ in questo modo:
\[ v \in V \quad v : V^* \rightarrow R \]
\[ \eta \mapsto v(\eta) =\]
e questo non lo capisco: cosa vuol dire fare $v(\eta)$? $v$ è semplicemente un vettore, non un funzionale.
Qualcuno saprebbe spiegarmi? Vi ringrazio.
Parlando di spazi vettoriali duali, il mio professore (di meccanica analitica) indica un funzionale lineare $\eta$ così:
\[ \eta \in V^* \quad \eta : V \rightarrow R \]
\[ v \mapsto \eta(v) =
e fin qui ci sono. Poi però, simmetricamente, indica un elemento $v$ dello spazio vettoriale $V$ in questo modo:
\[ v \in V \quad v : V^* \rightarrow R \]
\[ \eta \mapsto v(\eta) =
e questo non lo capisco: cosa vuol dire fare $v(\eta)$? $v$ è semplicemente un vettore, non un funzionale.
Qualcuno saprebbe spiegarmi? Vi ringrazio.
Risposte
Sta usando il fatto che se $V$ ha dimensione finita, esso è canonicamente isomorfo al suo biduale, quindi puoi pensare un vettore $v\in V$ come un elemento di \((V^\ast)^\ast\); questo agisce esattamente come ti aspetti: prende un covettore $\eta$ e lo valuta in $v$, dandoti lo scalare $\eta(v)$.
Ah ho capito! Sono andata a leggermi questa storia dell'isomorfismo canonico col biduale, ora torna tutto. Grazie infinite!
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