Esercizio applicazione lineare

[lois]

Ciao a tutti,trascrivo il testo dell'esercizio.
Si consideri un'applicazione lineare $ L:R2⟶R2 $ con nucleo uguale al sottospazio $ [ ( x ),( y ) ] $ | x+y=0 e tale che L $ [ ( 1 ),( 1) ] $ = $ [ ( 1 ),( 1) ] $ .
-si trovino gli autovalori di L
- Si trovi la matrice M di L rispetto alla base standard di R2
La mia vera difficoltà non sta nel trovare gli autovalori ma sta nel trovare L e di seguito la relativa M rispetto alla base $ [ ( 1 , 0 ),(0 , 1 ) ] $ . Dal testo mi sembra di capire di avere un Ker $ [ ( 1 , 1 ),(0 , 0 ) ] $ ma come faccio ad arrivare a L??
Grazie in anticipo.

[weblan]

Tu sai che $KerL$ è generato dal vettore $(1,-1)$ e quindi $L(1,-1)=(0,0)$ e $L(1,1)=(1,1)$.
Ora $(x,y)=\alpha(1,-1)+\beta(1,1)$ e quindi $\alpha=(x-y)/2$ e $\beta=(x+y)/2$.

$L(x,y)=(x-y)/2L(1,-1)+(x+y)/2L(1,1)=(x-y)/2(0,0)+(x+y)/2(1,1)=((x+y)/2,(x+y)/2)$.

In forma compatta $L(x,y)=((x+y)/2,(x+y)/2)$.