Endomorfismi diagonalizzabili
Sia V uno spazio vettoriale su Q, di dimensione 5
V = (v1..v5) base
Si ha un endomorfismo (phi):V --- > V che rispetta queste condizioni:
phi(v1-3(v3)) = 3(v2)-2(v4) = (1/2)phi(3(v2)-2(v4))
phi(2(v3)-v5) = v2 - v4 = phi(v4 - v2)
phi(v1 - v5) = v5 - v1
Mi chiede se phi è diagonalizzabile e di determinare una base di autovettori W = (w1..w5) di V scrivendo le coordinate nella base V.
Devo per forza ricavarmi la matrice per dire se è diagonalizzabile o c'è un modo più veloce?
Perché il mio professore nello svolgimento non mette il polinomio caratteristico, ma passa direttamente agli autospazi quindi mi chiedevo se ci fosse un modo più rapido in questo caso.
V = (v1..v5) base
Si ha un endomorfismo (phi):V --- > V che rispetta queste condizioni:
phi(v1-3(v3)) = 3(v2)-2(v4) = (1/2)phi(3(v2)-2(v4))
phi(2(v3)-v5) = v2 - v4 = phi(v4 - v2)
phi(v1 - v5) = v5 - v1
Mi chiede se phi è diagonalizzabile e di determinare una base di autovettori W = (w1..w5) di V scrivendo le coordinate nella base V.
Devo per forza ricavarmi la matrice per dire se è diagonalizzabile o c'è un modo più veloce?
Perché il mio professore nello svolgimento non mette il polinomio caratteristico, ma passa direttamente agli autospazi quindi mi chiedevo se ci fosse un modo più rapido in questo caso.
Risposte
Certamente.
1. $[\phi(vec(v_1)-vec(v_5))=vec(v_5)-vec(v_1)] rarr [\phi(vec(v_1)-vec(v_5))=-(vec(v_1)-vec(v_5))] rarr [\lambda_1=-1]$
2. $[\phi(vec(v_4)-vec(v_2))=vec(v_2)-vec(v_4)] rarr [\phi(-vec(v_2)+vec(v_4))=-(-vec(v_2)+vec(v_4))] rarr [\lambda_1=-1]$
3. $[\phi(2vec(v_3)-vec(v_5))=vec(v_2)-vec(v_4)] rarr[\phi(2vec(v_3)-vec(v_5))=\phi(vec(v_4)-vec(v_2))] rarr$
$rarr [\phi(vec(v_2)+2vec(v_3)-vec(v_4)-vec(v_5))=0] rarr [\lambda_2=0]$
4. $[\phi(vec(v_1)-3vec(v_3))=3vec(v_2)-2vec(v_4)] rarr [2\phi(vec(v_1)-3vec(v_3))=2(3vec(v_2)-2vec(v_4))] rarr$
$rarr [2\phi(vec(v_1)-3vec(v_3))=\phi(3vec(v_2)-2vec(v_4))] rarr [\phi(vec(2v_1)-3vec(v_2)-6vec(v_3)+2vec(v_4))=0] rarr [\lambda_2=0]$
5. $[1/2\phi(3vec(v_2)-2vec(v_4))=3vec(v_2)-2vec(v_4)] rarr [\phi(3vec(v_2)-2vec(v_4))=2(3vec(v_2)-2vec(v_4))] rarr [\lambda_3=2]$
A questo punto, visto che autovettori corrispondenti ad autovalori diversi sono senz'altro linearmente indipendenti, l'endomorfismo è diagonalizzabile se e solo se:
$[vec(v_1)-vec(v_5)] ^^ [-vec(v_2)+vec(v_4)]$ sono linearmente indipendenti
$[vec(v_2)+2vec(v_3)-vec(v_4)-vec(v_5)] ^^ [vec(2v_1)-3vec(v_2)-6vec(v_3)+2vec(v_4)]$ sono linearmente indipendenti
Non dovrebbe essere difficile dimostrarlo.
P.S.
Se riesci, sarebbe meglio eliminare il doppione viewtopic.php?f=37&t=184607#p8331082
1. $[\phi(vec(v_1)-vec(v_5))=vec(v_5)-vec(v_1)] rarr [\phi(vec(v_1)-vec(v_5))=-(vec(v_1)-vec(v_5))] rarr [\lambda_1=-1]$
2. $[\phi(vec(v_4)-vec(v_2))=vec(v_2)-vec(v_4)] rarr [\phi(-vec(v_2)+vec(v_4))=-(-vec(v_2)+vec(v_4))] rarr [\lambda_1=-1]$
3. $[\phi(2vec(v_3)-vec(v_5))=vec(v_2)-vec(v_4)] rarr[\phi(2vec(v_3)-vec(v_5))=\phi(vec(v_4)-vec(v_2))] rarr$
$rarr [\phi(vec(v_2)+2vec(v_3)-vec(v_4)-vec(v_5))=0] rarr [\lambda_2=0]$
4. $[\phi(vec(v_1)-3vec(v_3))=3vec(v_2)-2vec(v_4)] rarr [2\phi(vec(v_1)-3vec(v_3))=2(3vec(v_2)-2vec(v_4))] rarr$
$rarr [2\phi(vec(v_1)-3vec(v_3))=\phi(3vec(v_2)-2vec(v_4))] rarr [\phi(vec(2v_1)-3vec(v_2)-6vec(v_3)+2vec(v_4))=0] rarr [\lambda_2=0]$
5. $[1/2\phi(3vec(v_2)-2vec(v_4))=3vec(v_2)-2vec(v_4)] rarr [\phi(3vec(v_2)-2vec(v_4))=2(3vec(v_2)-2vec(v_4))] rarr [\lambda_3=2]$
A questo punto, visto che autovettori corrispondenti ad autovalori diversi sono senz'altro linearmente indipendenti, l'endomorfismo è diagonalizzabile se e solo se:
$[vec(v_1)-vec(v_5)] ^^ [-vec(v_2)+vec(v_4)]$ sono linearmente indipendenti
$[vec(v_2)+2vec(v_3)-vec(v_4)-vec(v_5)] ^^ [vec(2v_1)-3vec(v_2)-6vec(v_3)+2vec(v_4)]$ sono linearmente indipendenti
Non dovrebbe essere difficile dimostrarlo.
P.S.
Se riesci, sarebbe meglio eliminare il doppione viewtopic.php?f=37&t=184607#p8331082
Grazie mille!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo