Trasformata della derivata in dominio di Laplace

[_mark110]

Ciao. Come ben sappiamo nel dominio di Laplace la derivata di una funzione di t dipendente dal tempo diventa:

$y'(t)=d/dt y(t)$

$Y'(s)=s Y(s)$

La dimostrazione matematica mi é chiara, ma esiste un metodo piu' "intuitivo" per rendersene conto ?

Ad esempio é lecito pensare che s é una funzione lineare in un grafico x y in cui x é frequenza e y modulo ? in tal caso avro' un'amplificazione delle frequenze al salire delle stesse.
Filtrare e amplificare le altre frequenze mi da' l'idea di prendere la direzione di massimo accrescimento di un segnale e quindi la derivata.

Spero di non aver scritto sciocchezze e attendo un corteseriscontro. grazie ciao.

[dissonance]

Non sono sciocchezze, ma una cosa più intuitiva di quella che hai scritto è difficile darla. Quella di trasformare le derivate in polinomi è la proprietà fondamentale di un po' tutte queste trasformate (Fourier, Laplace), si tratta di un fatto molto profondo da cui discende un sacco di matematica.

Quindi, non può avere una interpretazione troppo facile, è normale che ti sembri una cosa un po' misteriosa.

[_mark110]

Grazie della risposta, quindi la mia interpretazione non è corretta ed è abbastanza fantasiosa ? devo affidarmi a una sola interpretazione puramente astratta e farmene una ragione ? se mi dai modo di avere una interpretazione intuitiva che pero' necessita di altre basi matematiche o teoremi posso provare a capirci qualcosa di piu.

Grazie ancora ciao.

[Quinzio]

Ti do una spiegazione molto alla buona e intuitiva. Quello che cercavi....
La trasformata di Laplace e' parente stretta della trasformata di Fourier.
Ora, la trasformata di Fourier trasforma un segnale nel dominio del tempo in un segnale nel dominio delle frequenze.
Pensa ad un segnale $y = \sin(\omega t)$, che viene trasformato come una "riga" singola nello spettro delle frequenze, ovvero lo spettro e' nullo tranne alla frequenza $\omega$ dove assume valore 1 (che e' l'ampiezza della sinusoide).
Se poi prendi la derivata del segnale $y' = \omega \cos(\omega t)$, vedi che l'ampiezza e' moltiplicata per $\omega$.
Ovvero nel dominio delle frequenze:
$cc "F"{y'(t)} = \omega cc "F"{y(t)}$.

Lo stesso "cambiamento" troviamo nella trasformata di Laplace dove
$cc "L"{y'(t)} = s cc "L"{y(t)}$,
anche se qui e' meno intuitivo.
Ma del resto la variabile $s$ rappresenta un esponenziale smorzato $e^((a+j\omega)t)$, mentre in Fourier l'esponente e' solo immaginario $e^(j\omega t)$.