Esercizi sugli spazi completi.
Ciao, vorrei che deste un occhio anche a questi ultimi esercizi per oggi:
(i) Mostrare che \(\displaystyle (\mathbb{Z},d) \) con \(\displaystyle d(m,n):=|m-n| \) è uno spazio metrico completo.
Presa una successione di Cauchy \(\displaystyle x_n \) di numeri interi, si ha \(\displaystyle d(x_n,x_m)=|x_n-x_m|<\epsilon \). Siccome \(\displaystyle x_n \) e \(\displaystyle x_m \) sono però interi, anche \(\displaystyle |x_n-x_m|\in\mathbb{Z} \); pertanto la disuguaglianza risulta vera se e solo se \(\displaystyle x_n=x_m \), ovvero se la successione è definitivamente costante e quindi convergente ad un intero nello spazio metrico.
(ii) Mostrare che uno spazio metrico discreto è completo.
Sia \(\displaystyle x_n \) una successione di Cauchy: si ha quindi \(\displaystyle d(x_n,x_m)<\epsilon \). Siccome la distanza tra qualunque coppia di punti vale o zero o uno, affinché la disuguaglianza sia soddisfatta deve essere nuovamente \(\displaystyle x_n=x_m \); ogni successione di Cauchy è pertanto costante e dunque convergente a un elemento di $X$.
(iii) Mostrare che la metrica \(\displaystyle d(x,y):=|\arctan x-\arctan y| \) è incompleta su \(\displaystyle \mathbb{R} \).
Pur sforzandomi faccio fatica a trovare una successione che sia di Cauchy secondo questa metrica ma che non converga... su questo esercizio avrei proprio bisogno di un suggerimento!
(iv) Mostrare che lo spazio \(\displaystyle s \) delle successioni complesse con la metrica \(d(x,y):=\sum_j \mu_j |\xi_j-\eta_j|/(1+|\xi_j-\eta_j|) \) è completo.
Sia \(\displaystyle x_n \) di Cauchy; si ha \(d(x_n,x_m)=\sum_j \mu_j |\xi_{n_j}-\xi_{m_j}|/(1+|\xi_{n_j}-\xi_{m_j}|)\le \epsilon\). Fissato un indice \(\displaystyle k \), la disuguaglianza precedente implica che \(\displaystyle \mu_k |\xi_{n_k}-\xi_{m_k}|/(1+|\xi_{n_k}-\xi_{m_k}|)\le \epsilon \) dal momento che ogni termine della somma deve essere infinitesimo; da questo segue che \(\displaystyle (\xi_{n_j}) \) è una successione di Cauchy di numeri complessi e quindi ammette limite \(\displaystyle \xi_k\in\mathbb{C} \). Ripetendo lo stesso ragionamento per ogni scelta di $k$, si ha che \(\displaystyle \xi_{n_j}\to\xi_k \) \(\displaystyle \forall j \), implicando che \(\displaystyle x_n\to x=(\xi_k)_k\in X \). Su questo non sono molto sicuro nemmeno io però...
Edit: infatti mi è venuto subito questo dubbio: dal fatto che \(\displaystyle \mu_k |\xi_{n_k}-\xi_{m_k}|/(1+|\xi_{n_k}-\xi_{m_k}|)\le \epsilon \), non sono più tanto sicuro di poter concludere che \(\displaystyle \xi_{n_j} \) sia una successione di Cauchy. Infatti per definizione \(\sum_j\mu_j \) deve essere convergente, e la condizione di Cauchy impone pertanto che \(\displaystyle \mu_j\to 0 \); di conseguenza la disuguaglianza può valere anche se \(\displaystyle |\xi_{n_k}-\xi_{m_k}|\nrightarrow 0 \) per il teorema del prodotto di una successione limitata con una infinitesima (e \(\displaystyle |\xi_{n_k}-\xi_{m_k}|/(1+|\xi_{n_k}-\xi_{m_k}|) \) è sicuramente limitata)...
(i) Mostrare che \(\displaystyle (\mathbb{Z},d) \) con \(\displaystyle d(m,n):=|m-n| \) è uno spazio metrico completo.
Presa una successione di Cauchy \(\displaystyle x_n \) di numeri interi, si ha \(\displaystyle d(x_n,x_m)=|x_n-x_m|<\epsilon \). Siccome \(\displaystyle x_n \) e \(\displaystyle x_m \) sono però interi, anche \(\displaystyle |x_n-x_m|\in\mathbb{Z} \); pertanto la disuguaglianza risulta vera se e solo se \(\displaystyle x_n=x_m \), ovvero se la successione è definitivamente costante e quindi convergente ad un intero nello spazio metrico.
(ii) Mostrare che uno spazio metrico discreto è completo.
Sia \(\displaystyle x_n \) una successione di Cauchy: si ha quindi \(\displaystyle d(x_n,x_m)<\epsilon \). Siccome la distanza tra qualunque coppia di punti vale o zero o uno, affinché la disuguaglianza sia soddisfatta deve essere nuovamente \(\displaystyle x_n=x_m \); ogni successione di Cauchy è pertanto costante e dunque convergente a un elemento di $X$.
(iii) Mostrare che la metrica \(\displaystyle d(x,y):=|\arctan x-\arctan y| \) è incompleta su \(\displaystyle \mathbb{R} \).
Pur sforzandomi faccio fatica a trovare una successione che sia di Cauchy secondo questa metrica ma che non converga... su questo esercizio avrei proprio bisogno di un suggerimento!
(iv) Mostrare che lo spazio \(\displaystyle s \) delle successioni complesse con la metrica \(d(x,y):=\sum_j \mu_j |\xi_j-\eta_j|/(1+|\xi_j-\eta_j|) \) è completo.
Sia \(\displaystyle x_n \) di Cauchy; si ha \(d(x_n,x_m)=\sum_j \mu_j |\xi_{n_j}-\xi_{m_j}|/(1+|\xi_{n_j}-\xi_{m_j}|)\le \epsilon\). Fissato un indice \(\displaystyle k \), la disuguaglianza precedente implica che \(\displaystyle \mu_k |\xi_{n_k}-\xi_{m_k}|/(1+|\xi_{n_k}-\xi_{m_k}|)\le \epsilon \) dal momento che ogni termine della somma deve essere infinitesimo; da questo segue che \(\displaystyle (\xi_{n_j}) \) è una successione di Cauchy di numeri complessi e quindi ammette limite \(\displaystyle \xi_k\in\mathbb{C} \). Ripetendo lo stesso ragionamento per ogni scelta di $k$, si ha che \(\displaystyle \xi_{n_j}\to\xi_k \) \(\displaystyle \forall j \), implicando che \(\displaystyle x_n\to x=(\xi_k)_k\in X \). Su questo non sono molto sicuro nemmeno io però...
Edit: infatti mi è venuto subito questo dubbio: dal fatto che \(\displaystyle \mu_k |\xi_{n_k}-\xi_{m_k}|/(1+|\xi_{n_k}-\xi_{m_k}|)\le \epsilon \), non sono più tanto sicuro di poter concludere che \(\displaystyle \xi_{n_j} \) sia una successione di Cauchy. Infatti per definizione \(\sum_j\mu_j \) deve essere convergente, e la condizione di Cauchy impone pertanto che \(\displaystyle \mu_j\to 0 \); di conseguenza la disuguaglianza può valere anche se \(\displaystyle |\xi_{n_k}-\xi_{m_k}|\nrightarrow 0 \) per il teorema del prodotto di una successione limitata con una infinitesima (e \(\displaystyle |\xi_{n_k}-\xi_{m_k}|/(1+|\xi_{n_k}-\xi_{m_k}|) \) è sicuramente limitata)...
Risposte
Ciao, ci stiamo ammazzando di esercizi sugli spazi metrici eh? Cosa studi?
(i) e (ii) sono giusti.
Per il (iii) prova a considerare la successione \( x_n = n \).
Per il (iv) chiarisci la notazione, cosa è \( \mu_j \)?
(i) e (ii) sono giusti.
Per il (iii) prova a considerare la successione \( x_n = n \).
Per il (iv) chiarisci la notazione, cosa è \( \mu_j \)?
Ciao 
io studio fisica, ho appena finito il secondo anno e il corso di metodi matematici di questo semestre (un miscuglio di analisi complessa e funzionale) mi ha lasciato un po' con l'amaro in bocca... quindi ho deciso di prendermi un libro vero di analisi funzionale, leggere la teoria e farne la maggior parte dei problemi. Adesso mi sto lasciando trascinare 
comunque il capitolo sugli spazi metrici l'ho quasi terminato, poi si passa a Banach..
In generale non escludo una futura magistrale legata al mondo della fisica matematica, quindi cerco di approfondire l'aspetto matematico dei corsi che seguo.
Comunque \(\displaystyle \mu_j \) è una successione tale che \(\displaystyle \sum_j\mu_j \) sia convergente.
io studio fisica, ho appena finito il secondo anno e il corso di metodi matematici di questo semestre (un miscuglio di analisi complessa e funzionale) mi ha lasciato un po' con l'amaro in bocca... quindi ho deciso di prendermi un libro vero di analisi funzionale, leggere la teoria e farne la maggior parte dei problemi. Adesso mi sto lasciando trascinare comunque il capitolo sugli spazi metrici l'ho quasi terminato, poi si passa a Banach..In generale non escludo una futura magistrale legata al mondo della fisica matematica, quindi cerco di approfondire l'aspetto matematico dei corsi che seguo.
Comunque \(\displaystyle \mu_j \) è una successione tale che \(\displaystyle \sum_j\mu_j \) sia convergente.
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