Teoria della Misura. Misure $\sigma$-finite

[manuelb9393]

Buongiorno,

Ho problemi nel dimostrare che una misura $\mu$ sia $\sigma$-finita.

Io conosco la seguente definizione:

Sia X un insieme non vuoto e $\M$ una $\sigma$-algebra. La misura $\mu$ si dice $\sigma$-finita su X se esiste una famiglia di Sottoinsiemi di X la cui unione (anche numerabile) coincide con X stesso e tale che la misura di ciascuno di questi sottoinsiemi sia finita.

Nel caso specifico, vi riporto l'esercizio che mi ha fatto sorgere dubbi.

Abbiamo la funzione $F:\R \rightarrow \R$ cosi definita:

$F(x) = \(1 - e^(-x))$ se $x<0$, $\ x$ se $0 \leq x <1$, $\ 2$ se $x\geq 1$.

Ora, essendo la stessa continua da destra e non decrescente definisce un'unica misura $\mu((a,b]) = F(b) - F(a)$. Come dimostro che tale misura è $\sigma$-finita?

[manuelb9393]

Ok, la funzione è limitata in $[0,+\infty)$. Ma su questo intervallo non ho mai avuto dubbi. Ho invece dubbi nel trattare intervalli del tipo $(-\infty, a]$ per qualche a reale, dato che $F(-\infty)= - \infty$.

Mi piace l'idea di considerare l'unione numerabile di intervalli $[n,n+1)$, pero` sono ancora perplesso per intervalli come sopra.

"arnett":[Non è meglio metterlo in analisi superiore?]

Onestamente non sapevo dove pubblicarlo

[dissonance]

@manuel: è il caso di leggere attentamente la definizione di "misura sigma-finita". Riportala qui.

[Bremen000]

Concordando con dissonance, sottolineo questo:

"manuelb9393":[...] esiste una famiglia di Sottoinsiemi di X [...]

Una famiglia di sottoinsiemi misurabili di \( X \) !

[manuelb9393]

"arnett":Ma il fatto che intervalli della forma $ (-\infty, a] $ abbiano misura infinita non implica che la misura non sia sigma finita

Lo so, ma è questo il punto. Non riesco ad immaginare un "ricoprimento" della retta reale che non sia costituita anche da insiemi di quel tipo.

"dissonance":@manuel: è il caso di leggere attentamente la definizione di "misura sigma-finita". Riportala qui.

Gli appunti del mio professore recitano:
"Dato uno spazio di misura $(X,\mathfrak{M},\mu)$, la misura $\mu$ si dice $\sigma$-finita se X è unione numerabile di insiemi di misura finita".

"Bremen000":Concordando con dissonance, sottolineo questo:

[quote="manuelb9393"][...] esiste una famiglia di Sottoinsiemi di X [...]

Una famiglia di sottoinsiemi misurabili di \( X \) ![/quote]

Ho visto che su wikipedia c'è questa precisazione. Sbaglio a pensare che se qualcosa ha misura finita allora è necessariamente misurabile?

[dissonance]

No, non sbagli, chiaro che se parli di "misura" di un insieme stai sottointendendo che è misurabile. Quanto alla definizione, faccio notare che deve solo esistere *un* ricoprimento numerabile di insiemi di misura finita. NON che *tutti* i ricoprimenti numerabili devono essere formati da insiemi di misura finita.

[manuelb9393]

"dissonance":No, non sbagli, chiaro che se parli di "misura" di un insieme stai sottointendendo che è misurabile. Quanto alla definizione, faccio notare che deve solo esistere *un* ricoprimento numerabile di insiemi di misura finita. NON che *tutti* i ricoprimenti numerabili devono essere formati da insiemi di misura finita.

Dunque la risposta fornita: $(n, n+1]$ con n intero è corretta?