Proprietà della modulazione
Salve a tutti,
avrei una curiosità.
Essendo nota la $ X(f) = rect(f-2) $ , so per la proprietà della modulazione che la $ x(t)= sinc(t) * e^(j*4*\pi*t)$.
Se volessi dimostrarla?
Ho impostato l'integrale per l'antitrasformata, ottenendo quindi : $x(t)= \int_{1,5}^{2,5} e^(j*2*\pi*f*t) df$
e quindi : $ 1/(j*2*\pi*t) * (e^(j*5*\pi*t) - e^(j*3*\pi*t)) $.
Anche se sviluppo gli esponenziali non riesco a giungere alla soluzione, cosa sbaglio?
Grazie mille
avrei una curiosità.
Essendo nota la $ X(f) = rect(f-2) $ , so per la proprietà della modulazione che la $ x(t)= sinc(t) * e^(j*4*\pi*t)$.
Se volessi dimostrarla?
Ho impostato l'integrale per l'antitrasformata, ottenendo quindi : $x(t)= \int_{1,5}^{2,5} e^(j*2*\pi*f*t) df$
e quindi : $ 1/(j*2*\pi*t) * (e^(j*5*\pi*t) - e^(j*3*\pi*t)) $.
Anche se sviluppo gli esponenziali non riesco a giungere alla soluzione, cosa sbaglio?
Grazie mille
Risposte
Alla fine avrei $ 1/(j*2*\pi*t)(cos(5*\pi*t)+jsin(5*\pi*t)-cos(3*\pi*t)-jsin(3*\pi*t))$
Sapendo di dover arrivare alla forma di $(sin(\pi*t)/(\pi*t))*(cos(4*\pi*t)+jsin(4\pi*t))$ devo lavorare sulle sinusoidi?
Sapendo di dover arrivare alla forma di $(sin(\pi*t)/(\pi*t))*(cos(4*\pi*t)+jsin(4\pi*t))$ devo lavorare sulle sinusoidi?
Ciao arianna1998,
Non sono sicuro di aver capito bene cosa vuoi dimostrare. In generale si può dimostrare che la trasformata di Fourier della funzione $ x(t) = \text{rect}(t/a) = \chi_{(-a/2, a/2)}(t) $ è $ X(f) = a \text{sinc}(af) $, con $a > 0 $
Dunque nel caso particolare $a = 1 $ si trova che la trasformata di Fourier della funzione $ x(t) = \text{rect}(t) = \chi_{(-1/2, 1/2)}(t) $ è $ X(f) = \text{sinc}(f) $
Da qui con la proprietà di traslazione delle frequenze si può trovare l'antitrasformata di $X(f - f_0) $ che è $x(t) e^{i 2 \pi f_0 t} $. Puoi vedere autonomamente cosa accade nel caso particolare $f_0 = 2 $.
Diverso invece il caso in cui volessi determinare la trasformata di Fourier della funzione $ x(t) = \chi_{(a, b)}(t) $ che è $X(f) = (b - a) e^{- i\pi (a + b) f} \text{sinc}((b - a)f) $
Non sono sicuro di aver capito bene cosa vuoi dimostrare. In generale si può dimostrare che la trasformata di Fourier della funzione $ x(t) = \text{rect}(t/a) = \chi_{(-a/2, a/2)}(t) $ è $ X(f) = a \text{sinc}(af) $, con $a > 0 $
Dunque nel caso particolare $a = 1 $ si trova che la trasformata di Fourier della funzione $ x(t) = \text{rect}(t) = \chi_{(-1/2, 1/2)}(t) $ è $ X(f) = \text{sinc}(f) $
Da qui con la proprietà di traslazione delle frequenze si può trovare l'antitrasformata di $X(f - f_0) $ che è $x(t) e^{i 2 \pi f_0 t} $. Puoi vedere autonomamente cosa accade nel caso particolare $f_0 = 2 $.
Diverso invece il caso in cui volessi determinare la trasformata di Fourier della funzione $ x(t) = \chi_{(a, b)}(t) $ che è $X(f) = (b - a) e^{- i\pi (a + b) f} \text{sinc}((b - a)f) $
"arianna1998":
devo lavorare sulle sinusoidi?
Si, qualche manipolazione trigonometrica ( formule di prostaferesi )
in pratica guardati le trasfomazioni di somme in prodotti
Buon divertimento
"arianna1998":
devo lavorare sulle sinusoidi?
Non è necessario. Basta considerare ciò che ti ho già scritto nel post precedente tenendo presente la proprietà di dualità della trasformata di Fourier. Se ho capito bene cosa stai studiando, potrebbe anche farti comodo dare un'occhiata ad esempio qui.
Grazie mille ad entrambi!
Secondo me il problema è semplicemente il calcolo diretto di questo integrale:
\[
\int_{\tfrac32}^{\tfrac52} e^{2\pi j ft}\, dt.\]
Come osservato da Arianna il risultato è
\[
\frac{e^{5\pi j t}-e^{3\pi j t}}{2\pi j t},\]
e per metterlo nella forma desiderata, con la funzione "sinc", è sufficiente osservare che
\[
e^{5\pi j t}-e^{3\pi j t} = e^{4\pi j t}\left( e^{\pi j t}-e^{-\pi j t}\right) = e^{4\pi j t}2j \sin(\pi t).\]
\[
\int_{\tfrac32}^{\tfrac52} e^{2\pi j ft}\, dt.\]
Come osservato da Arianna il risultato è
\[
\frac{e^{5\pi j t}-e^{3\pi j t}}{2\pi j t},\]
e per metterlo nella forma desiderata, con la funzione "sinc", è sufficiente osservare che
\[
e^{5\pi j t}-e^{3\pi j t} = e^{4\pi j t}\left( e^{\pi j t}-e^{-\pi j t}\right) = e^{4\pi j t}2j \sin(\pi t).\]
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