Espansione in serie di Taylor e operatore di shift
Buonasera, vorrei un aiuto nel comprendere l'ultima uguaglianza:
[tex]\exp\bigg({\frac{i \hat{p} a}{\hbar}}\bigg) \psi(x) = \bigg(1 + a \frac{\text{d}}{\text{d}x} + \frac{a^2}{2!} \frac{\text{d}^2}{\text{d}x^2} + \frac{a^3}{3!} \frac{\text{d}^3}{\text{d}x^3} + ... \bigg)\psi(x) =[/tex]
[tex]= \psi(x) + a \frac{\text{d}\psi}{\text{d}x} + \frac{a^2}{2!} \frac{\text{d}^2\psi}{\text{d}x^2} + \frac{a^3}{3!} \frac{\text{d}^3\psi}{\text{d}x^3} + ... = \psi(x + a)[/tex]
Se avessi dovuto fare l'espansione in serie di Taylor di $ f(x+a) $ in un intorno di $x_{0}$ avrei scritto
$ f(x_{0}) + (x+a-x_{0})f'(x_{0}) + 1/2(x+a-x_{0})^2f''(x_{0}) + \ldots $
dato che
$ sum_(n = 0)^(oo)(f^((n))(x_0))/(n!)(x-x_0)^n $
e quindi avrei semplicemente fatto la sostituzione $ x to x+a $.
Poi ho provato su WolframAlpha che mi ha restituito:
$ f(x+a) = f(x_0+a) + (x-x_0)f'(x_0+a) + 1/2(x-x_0)^2f''(x_0+a) + \ldots $
Quindi ho immaginato che servisse anche la traslazione del punto $x_0$, ossia $x_0 to x_0+a$, ma ancora non mi trovo con quanto scritto nell'immagine allegata.
È come se fosse $ x = x_0 + a $ ma è possibile?
Potete darmi una mano?
[tex]\exp\bigg({\frac{i \hat{p} a}{\hbar}}\bigg) \psi(x) = \bigg(1 + a \frac{\text{d}}{\text{d}x} + \frac{a^2}{2!} \frac{\text{d}^2}{\text{d}x^2} + \frac{a^3}{3!} \frac{\text{d}^3}{\text{d}x^3} + ... \bigg)\psi(x) =[/tex]
[tex]= \psi(x) + a \frac{\text{d}\psi}{\text{d}x} + \frac{a^2}{2!} \frac{\text{d}^2\psi}{\text{d}x^2} + \frac{a^3}{3!} \frac{\text{d}^3\psi}{\text{d}x^3} + ... = \psi(x + a)[/tex]
Se avessi dovuto fare l'espansione in serie di Taylor di $ f(x+a) $ in un intorno di $x_{0}$ avrei scritto
$ f(x_{0}) + (x+a-x_{0})f'(x_{0}) + 1/2(x+a-x_{0})^2f''(x_{0}) + \ldots $
dato che
$ sum_(n = 0)^(oo)(f^((n))(x_0))/(n!)(x-x_0)^n $
e quindi avrei semplicemente fatto la sostituzione $ x to x+a $.
Poi ho provato su WolframAlpha che mi ha restituito:
$ f(x+a) = f(x_0+a) + (x-x_0)f'(x_0+a) + 1/2(x-x_0)^2f''(x_0+a) + \ldots $
Quindi ho immaginato che servisse anche la traslazione del punto $x_0$, ossia $x_0 to x_0+a$, ma ancora non mi trovo con quanto scritto nell'immagine allegata.
È come se fosse $ x = x_0 + a $ ma è possibile?
Potete darmi una mano?
Risposte
Mi cerco di dare un'autorisposta, è possibile che dato che quello all'inizio è un operatore di shift $x_0$ sia visto come punto di arrivo dopo aver traslato $x$ della quantità $-a$?
O meglio, $x$ come arrivo dopo essere partiti da $x_0$ e aver shiftato di $a$.
È l'unica spiegazione plausibile che mi viene in mente per giustificare quell'uguaglianza
O meglio, $x$ come arrivo dopo essere partiti da $x_0$ e aver shiftato di $a$.
È l'unica spiegazione plausibile che mi viene in mente per giustificare quell'uguaglianza
Ciao canesciolt0,
Riscrivo in modo un po' più leggibile il testo proposto nell'immagine, così magari puoi modificare l'OP eliminandola, dato che le immagini a lungo andare spariscono rendendo il thread poco significativo.
[tex]\exp\bigg({\frac{i \hat{p} a}{\hbar}}\bigg) \psi(x) = \bigg(1 + a \frac{\text{d}}{\text{d}x} + \frac{a^2}{2!} \frac{\text{d}^2}{\text{d}x^2} + \frac{a^3}{3!} \frac{\text{d}^3}{\text{d}x^3} + ... \bigg)\psi(x) =[/tex]
[tex]= \psi(x) + a \frac{\text{d}\psi}{\text{d}x} + \frac{a^2}{2!} \frac{\text{d}^2\psi}{\text{d}x^2} + \frac{a^3}{3!} \frac{\text{d}^3\psi}{\text{d}x^3} + ... = \psi(x + a)[/tex]
Mi sembra che sia stato semplicemente considerato che [tex]\hat{p} = - i {\hbar} \frac{\text{d}}{\text{d}x}[/tex] e poi usato lo sviluppo in serie dell'esponenziale che ne risulta.
Poi si può scrivere:
$\psi(x + a) = \sum_{k = 0}^{+\infty} (\psi^{(k)}(x))/(k!) a^k $
ove naturalmente $\psi^{(k)}(x) = \frac{\text{d}^k}{\text{d}x^k}\psi(x) $
Infatti, ponendo $x_0 $ al posto di $x $ e $a := x - x_0 $ si ritrova la consueta espressione dello sviluppo in serie di Taylor:
$ \sum_{k = 0}^{+\infty} (\psi^{(k)}(x_0))/(k!) (x - x_0)^k = \psi(x_0 + x - x_0) = \psi(x) $
Riscrivo in modo un po' più leggibile il testo proposto nell'immagine, così magari puoi modificare l'OP eliminandola, dato che le immagini a lungo andare spariscono rendendo il thread poco significativo.
[tex]\exp\bigg({\frac{i \hat{p} a}{\hbar}}\bigg) \psi(x) = \bigg(1 + a \frac{\text{d}}{\text{d}x} + \frac{a^2}{2!} \frac{\text{d}^2}{\text{d}x^2} + \frac{a^3}{3!} \frac{\text{d}^3}{\text{d}x^3} + ... \bigg)\psi(x) =[/tex]
[tex]= \psi(x) + a \frac{\text{d}\psi}{\text{d}x} + \frac{a^2}{2!} \frac{\text{d}^2\psi}{\text{d}x^2} + \frac{a^3}{3!} \frac{\text{d}^3\psi}{\text{d}x^3} + ... = \psi(x + a)[/tex]
Mi sembra che sia stato semplicemente considerato che [tex]\hat{p} = - i {\hbar} \frac{\text{d}}{\text{d}x}[/tex] e poi usato lo sviluppo in serie dell'esponenziale che ne risulta.
Poi si può scrivere:
$\psi(x + a) = \sum_{k = 0}^{+\infty} (\psi^{(k)}(x))/(k!) a^k $
ove naturalmente $\psi^{(k)}(x) = \frac{\text{d}^k}{\text{d}x^k}\psi(x) $
Infatti, ponendo $x_0 $ al posto di $x $ e $a := x - x_0 $ si ritrova la consueta espressione dello sviluppo in serie di Taylor:
$ \sum_{k = 0}^{+\infty} (\psi^{(k)}(x_0))/(k!) (x - x_0)^k = \psi(x_0 + x - x_0) = \psi(x) $
Dubbio risolto, grazie mille ora edito l'OP.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo