Equazioni differenziali alle derivate parziali
Ciao a tutti, ho questo problema di Dirichlet $ { ( ux x + uy y =0 ),( u(x,0)=u(x,4)=u(5,y)=0 ),( u(0,y)=1 ):} $ con $ 0
Risposte
Beh, è il classico metodo di separazione delle variabili.
Stai supponendo che $u(x,y)=X(x)*Y(y)$, in cui $X(x)$ ed $Y(y)$ sono soluzioni di due opportuni problemi al contorno per EDO ottenuti dalla PDE e dalle condizioni al bordo ad essa imposte.
Stai supponendo che $u(x,y)=X(x)*Y(y)$, in cui $X(x)$ ed $Y(y)$ sono soluzioni di due opportuni problemi al contorno per EDO ottenuti dalla PDE e dalle condizioni al bordo ad essa imposte.
Ciao antor,
Riscrivo il problema proposto:
$ {(u_{x x} + u_{yy} = 0 ),(u(x,0) = u(x,4) = u(5,y) = 0),(u(0,y) = 1):} $
con $0
Innanzitutto osservo che nel testo riportato c'è un errore perché naturalmente non è $u(x, t) = X(x) Y(y) $ ma $u(x,y) = X(x) Y(y) $
Poi dato che
$ X''(x) - \lambda^2 X(x) = 0 \implies X(x) = A_1 cosh(\lambda x) + B_1 sinh(\lambda x) $
$ Y''(y) + \lambda^2 Y(y) = 0 \implies Y(y) = A_2 cos(\lambda y) + B_2 sin(\lambda y) $
ecco che
$u(x,y) = X(x) Y(y) = [A_1 cosh(\lambda x) + B_1 sinh(\lambda x)][A_2 cos(\lambda y) + B_2 sin(\lambda y)]$
Qui sono da determinare le 4 costanti e $\lambda $ sulla base delle condizioni proposte. Dalla condizione $u(x,0) = 0 $ si ha subito $A_2 = 0 $, quindi possiamo già riscrivere $u(x,y) $ nella forma seguente:
$u(x,y) = X(x) Y(y) = [A_1 cosh(\lambda x) + B_1 sinh(\lambda x)]B_2 sin(\lambda y) $
Dalla condizione $u(x, 4) = 0 $ si ha:
$0 = [A_1 cosh(\lambda x) + B_1 sinh(\lambda x)]B_2 sin(4\lambda) \implies 4\lambda = m\pi \implies \lambda = (m \pi)/4 $, $\quad m \in \ZZ $
Dalla condizione $u(5, y) = 0 $ si ha:
$ 0 = [A_1 cosh((5m \pi)/4) + B_1 sinh((5m \pi)/4)]B_2 sin(4\lambda) $
Pertanto deve essere nullo quanto contenuto nella parentesi quadra e dunque, esprimendo $B_1 $ in funzione di $A_1 $, si ottiene:
$ B_1 = \frac{- A_1 cosh((5m \pi)/4)}{sinh((5m \pi)/4)} $
Sostituendo tutto risulta come segue:
$u(x,y) = [A_1 cosh((m \pi)/4 x) + \frac{- A_1 cosh((5m \pi)/4)}{sinh((5m \pi)/4)} sinh((m \pi)/4 x)]B_2 sin((m \pi)/4 y) = $
$ = A_1 B_2 [sinh((5m \pi)/4) cosh((m \pi)/4 x) - cosh((5m \pi)/4) sinh((m \pi)/4 x)] sinh((m \pi)/4 x) \cdot \frac{1}{sinh((5m \pi)/4)} = $
$ = A_1 B_2 sinh((m \pi (5 - x))/4) sinh((m \pi)/4 x) \cdot \frac{1}{sinh((5m \pi)/4)} $
A questo punto non si capisce che fine ha fatto $B_2 $, forse è stato posto $B_2 = 1 $ oppure è stata rinominata $A_1 := A_1 B_2 $. Resta il fatto che dopo c'è scritta la condizione $u(0, y) = 2 $, mentre invece quella che hai scritto inizialmente è $u(0, y) = 1 $: qual è quella corretta?
Riscrivo il problema proposto:
$ {(u_{x x} + u_{yy} = 0 ),(u(x,0) = u(x,4) = u(5,y) = 0),(u(0,y) = 1):} $
con $0
Innanzitutto osservo che nel testo riportato c'è un errore perché naturalmente non è $u(x, t) = X(x) Y(y) $ ma $u(x,y) = X(x) Y(y) $
Poi dato che
$ X''(x) - \lambda^2 X(x) = 0 \implies X(x) = A_1 cosh(\lambda x) + B_1 sinh(\lambda x) $
$ Y''(y) + \lambda^2 Y(y) = 0 \implies Y(y) = A_2 cos(\lambda y) + B_2 sin(\lambda y) $
ecco che
$u(x,y) = X(x) Y(y) = [A_1 cosh(\lambda x) + B_1 sinh(\lambda x)][A_2 cos(\lambda y) + B_2 sin(\lambda y)]$
Qui sono da determinare le 4 costanti e $\lambda $ sulla base delle condizioni proposte. Dalla condizione $u(x,0) = 0 $ si ha subito $A_2 = 0 $, quindi possiamo già riscrivere $u(x,y) $ nella forma seguente:
$u(x,y) = X(x) Y(y) = [A_1 cosh(\lambda x) + B_1 sinh(\lambda x)]B_2 sin(\lambda y) $
Dalla condizione $u(x, 4) = 0 $ si ha:
$0 = [A_1 cosh(\lambda x) + B_1 sinh(\lambda x)]B_2 sin(4\lambda) \implies 4\lambda = m\pi \implies \lambda = (m \pi)/4 $, $\quad m \in \ZZ $
Dalla condizione $u(5, y) = 0 $ si ha:
$ 0 = [A_1 cosh((5m \pi)/4) + B_1 sinh((5m \pi)/4)]B_2 sin(4\lambda) $
Pertanto deve essere nullo quanto contenuto nella parentesi quadra e dunque, esprimendo $B_1 $ in funzione di $A_1 $, si ottiene:
$ B_1 = \frac{- A_1 cosh((5m \pi)/4)}{sinh((5m \pi)/4)} $
Sostituendo tutto risulta come segue:
$u(x,y) = [A_1 cosh((m \pi)/4 x) + \frac{- A_1 cosh((5m \pi)/4)}{sinh((5m \pi)/4)} sinh((m \pi)/4 x)]B_2 sin((m \pi)/4 y) = $
$ = A_1 B_2 [sinh((5m \pi)/4) cosh((m \pi)/4 x) - cosh((5m \pi)/4) sinh((m \pi)/4 x)] sinh((m \pi)/4 x) \cdot \frac{1}{sinh((5m \pi)/4)} = $
$ = A_1 B_2 sinh((m \pi (5 - x))/4) sinh((m \pi)/4 x) \cdot \frac{1}{sinh((5m \pi)/4)} $
A questo punto non si capisce che fine ha fatto $B_2 $, forse è stato posto $B_2 = 1 $ oppure è stata rinominata $A_1 := A_1 B_2 $. Resta il fatto che dopo c'è scritta la condizione $u(0, y) = 2 $, mentre invece quella che hai scritto inizialmente è $u(0, y) = 1 $: qual è quella corretta?
@ pilloeffe: Perché riscrivere (quasi) pari pari ciò che è già scritto nel documento allegato?
"gugo82":
Perché riscrivere (quasi) pari pari ciò che è già scritto nel documento allegato?
Beh, innanzitutto perché quella dell'OP è un'immagine e temo che prima o poi andrà persa rendendo il post poco significativo, poi perché
"antor":
Potete mostrarmi i passaggi necessari per risolvere i miei dubbi?
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