Successione di Cauchy e sottosuccessione
Sia $\{f_n\}$ una successione di Cauchy allora per definizione: $$\forall k\in\mathbb{N},\quad\exists n(k)\in\mathbb{N}\quad|\quad\forall m,n>n(k)\quad \|f_m-f_n\|<\frac{1}{2^k}.$$
Devo costruire una successione $\{n_k\}$ strettamente crescente tale che $$\|f_{n_{k+1}}-f_{n_k}\|< \frac{1}{2^k}\;\text{per ogni}\;k\in\mathbb{N}$$.
Ora ponendo $n_1=n(1)+1$ ed $n_{2}=\max(n(2) + 1, n_1+1))$ ottengo, tenuto conto della definizione, che $$\|f_{n_{2}}-f_{n_1}\|< \frac{1}{2}\;$$.
Va bene questo procedimento?
Come posso scriverlo in maniera formale? Cioè così mi sembra una cosa fatta "a mano", cioè non mi sembra un qualcosa di rigoroso. Che dite?
P.S Ho evitato di scrivervi le varie definizione dello spazio e dei domini, perché sono superflui
Grazie!
Devo costruire una successione $\{n_k\}$ strettamente crescente tale che $$\|f_{n_{k+1}}-f_{n_k}\|< \frac{1}{2^k}\;\text{per ogni}\;k\in\mathbb{N}$$.
Ora ponendo $n_1=n(1)+1$ ed $n_{2}=\max(n(2) + 1, n_1+1))$ ottengo, tenuto conto della definizione, che $$\|f_{n_{2}}-f_{n_1}\|< \frac{1}{2}\;$$.
Va bene questo procedimento?
Come posso scriverlo in maniera formale? Cioè così mi sembra una cosa fatta "a mano", cioè non mi sembra un qualcosa di rigoroso. Che dite?
P.S Ho evitato di scrivervi le varie definizione dello spazio e dei domini, perché sono superflui
Grazie!
Risposte
Onestamente non ho capito il tuo tentativo di inizio.
Se prendi la successione $- 1/2 1/2^k$, hai risolto il tuo problema.
Non so pero' se l'esercizio richiede qualcosa di meno banale.
Il limite di quella successione e' zero e ogni elemento e' distante dal limite meno di $1/2^k$.
Se prendi la successione $- 1/2 1/2^k$, hai risolto il tuo problema.
Non so pero' se l'esercizio richiede qualcosa di meno banale.
Il limite di quella successione e' zero e ogni elemento e' distante dal limite meno di $1/2^k$.