Serie di Fourier di una funzione in $L^2(\mathbb{R})$
Ciao a tutti,
data una funzione $f \in L^2(\mathbb{R})$, periodica di periodo $T$, conosco i suoi coefficienti di Fourier:
$$\hat{f}(k)= \frac{1}{\sqrt{T}} \int_0^T f(x)e^{-2\pi i k \frac{x}{T}}dx$$
La sua serie di Fourier è quindi
$$\frac{1}{T}\sum_{k \in \mathbb{Z}} \hat{f}(k) e^{2\pi i k \frac{x}{T}}$$
Come posso mostrare che tale serie di Fourier corrisponde a
$$f(x)=a_0 + \sum_{k=1}^{\infty} \left[ a_k \cos(\frac{2\pi}{T}x) + b_k \sin(\frac{2\pi}{T})x \right]$$
per opportuni $a_0, a_k, b_k$, in $L^2$?
data una funzione $f \in L^2(\mathbb{R})$, periodica di periodo $T$, conosco i suoi coefficienti di Fourier:
$$\hat{f}(k)= \frac{1}{\sqrt{T}} \int_0^T f(x)e^{-2\pi i k \frac{x}{T}}dx$$
La sua serie di Fourier è quindi
$$\frac{1}{T}\sum_{k \in \mathbb{Z}} \hat{f}(k) e^{2\pi i k \frac{x}{T}}$$
Come posso mostrare che tale serie di Fourier corrisponde a
$$f(x)=a_0 + \sum_{k=1}^{\infty} \left[ a_k \cos(\frac{2\pi}{T}x) + b_k \sin(\frac{2\pi}{T})x \right]$$
per opportuni $a_0, a_k, b_k$, in $L^2$?
Risposte
"mombe":
Come posso mostrare che tale serie di Fourier corrisponde......
Usi la formula di Eulero, ricordando alcune relazioni di un numero complesso con il coniugato
Ciao mombe,
Si tratta di questioni piuttosto note che dovresti aver trattato durante il corso o comunque dovrebbero essere trattate sul tuo libro di testo. Qualora proprio non trovassi nulla in merito puoi trovare ciò che ti serve ed anche qualcosina in più qui.
Si tratta di questioni piuttosto note che dovresti aver trattato durante il corso o comunque dovrebbero essere trattate sul tuo libro di testo. Qualora proprio non trovassi nulla in merito puoi trovare ciò che ti serve ed anche qualcosina in più qui.
Grazie a tutti! In effetti ho risolto con semplici considerazioni sui numeri complessi.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo