Continuità delle derivate parziali
Se una funzione a più variabili è differenziabile in tutto $\mathbb{R}^n$, allora la funzione è anche di classe $C^1$ in $\mathbb{R}^n$, cioè, ha anche derivate parziali continue? In caso qualcuno saprebbe qualche esempio?
Risposte
No, è falso. La differenziabilità implica l'esistenza della derivate direzionali lungo ogni direzione, ma non la continuità delle derivate parziali. Basta un esempio in $\mathbb{R^2}$ per confutarlo, e il trucco per ricordarlo è di modifcare leggermente quello classico in una variabile:
$$\varphi(x)=\begin{cases} x \sin \frac{1}{x}, \ \text{se} \ x \ne 0 \\ 0, \ \text{se} \ x=0 \end{cases}$$
Consideriamo quindi:
$$f(x,y)=\begin{cases} (x^2+y^2)\sin \frac{1}{x^2+y^2}, \ \text{se} \ (x,y) \ne (0,0) \\ 0, \ \text{se} \ (x,y)=(0,0) \end{cases}$$
è differenziabile in tutto $\mathbb{R}^2$, ma le derivate parziali non sono continue in $(0,0)$.
Credo che la sezione più adatta sia "Analisi matematica di base", forse qualche moderatore lo sposterà.
$$\varphi(x)=\begin{cases} x \sin \frac{1}{x}, \ \text{se} \ x \ne 0 \\ 0, \ \text{se} \ x=0 \end{cases}$$
Consideriamo quindi:
$$f(x,y)=\begin{cases} (x^2+y^2)\sin \frac{1}{x^2+y^2}, \ \text{se} \ (x,y) \ne (0,0) \\ 0, \ \text{se} \ (x,y)=(0,0) \end{cases}$$
è differenziabile in tutto $\mathbb{R}^2$, ma le derivate parziali non sono continue in $(0,0)$.
Credo che la sezione più adatta sia "Analisi matematica di base", forse qualche moderatore lo sposterà.
Immaginavo fosse così ma non riuscivo a costruire un esempio, ti ringrazio
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