Analisi matematica di base

Buongiorno a tutti, avrei dei dubbi su questo esercizio in quanto una richiesta non sono riuscito a svolgerla mentre le altre tre ho provato a risolverle ma non sono sicuro se il procedimento è corretto. **TESTO:** Sia \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) una funzione derivabile infinite volte, tale che \[ \lim_{x \to +\infty} (f(x) - 2 \sin(x^2)) = 0. \] Dimostrare che: i) la funzione non è né concava né convessa; ii) esistono infiniti punti in cui la funzione si annulla; iii) esistono ...

Mi crea diversi dubbi questo esercizio Sia $f(x, y, z) = z^2$ Dimostrare che $f^(-1)(0)$ è una superficie, nonostante il fatto che i suoi punti non siano regolari per f. 1) io ho pensato di calcolarmi il punti di $f^-1$: (x,y,0) e di farmi il gradiente $∇f=⟨0,0,2z⟩$, quindi per z=0 sono non regolari, i restanti sarebbero regolari. tuttavia essendo la controimmagine di zero (x,y,0) direi che non ho punti regolari, tutti sono non regolari. Tuttavia ...

Buon pomeriggio a tutti, Mi trovo qui a chiedere aiuto in merito a questo esercizio, in quanto non ho saputo risolverlo da solo. Il testo mi dà la funzione $f(x, y) = e^{3x}(1 + 25x^2 + 25y^2)$ e mi dà un insieme (non legato alla funzione) $A = \{ (x, y) \in\mathbb{R}^2: 9x^2 + 9y^2 < 1\}$. Mi viene chiesto di trovare un sottoinsieme infinito di $A$ in cui $f$ sia convessa. Io personalmente ho dovuto prima capire che "infinito" è inteso come cardinalità. Altrimenti non avrei saputo come farlo dato che ogni ...

Volevo chiedere un aiuto ancora su questi concetti di parametrizzazione per arco lunghezza: Mi si chiede: Data una curva $α(t), t ∈ (a, b)$, la curva $˜α(r) := α(−r), r ∈ (−b, −a)$ ha orientazione opposta. Per definizione, i punti $α(t)$ e $˜α(−t)$ coincidono. Scelto un tal punto, paragonare i riferimenti di Frenet, la curvatura e la torsione delle due curve $α, ˜α$. Si lavori per arco lunghezza ho pensato di farmi una idea della parametrizzazione ...

Ciao, volevo chiedere una delucidazione su un utilizzo della seguente notazione. io so che due funzioni f e g sono uguali se e solo se $f(t)=g(t) forall t in RR$ nel contesto delle curve in analisi il professore usa dire: $gamma(t)=gamma'(s(t))$ e questo mi confonde perché s e t sono due parametri diversi, quindi non posso sfruttare il $forall t$, penso quindi intenda dire che punto a punto le immagni sono uguali? però non posso affermare che sono la stessa funzione $gamma$ e ...

Non credo di aver capito una cosa riguardo questo concetto: $int_a^bf(x)dx$ prendo la funzione $g:(b,a)->(a,b), t->a+b-t$ ne consegue: $g'=-1$ quindi: $-1*int_(g^-1(a)=b)^(g^-1(b)=a)f(g(t))dt$ mi aspetterei $-int_b^af(x)dx$ per coerenza tuttavia: $int_(g^-1(a)=b)^(g^-1(b)=a)f(a+b-t)dt$ Ho quindi una $f(a+b-t)$, mentre io vorrei una $f(t)$ cosicché: a meno di variabile muta $-int_b^af(x)dx=-int_b^af(t)dt$ e sarei a cavallo... ma io ho $f(a+b-t)$ a rompermi le scatole. Que sbaglio? non lo capisco.

Ciao, volevo chiarire una cosa che mi lascia dubbioso e temo di non aver afferrato appieno. Nello studio dell'analisi in più variabili mi è stata definita: differenzaibilità, derivata direzionale, parziale, limiti ecc. Però non capisco perché non mi sia stata definita (se esiste o meno) e se il concetto avesse un legame col resto di quanto sto studiando di un qualcosa del genere: io prendo una $F:A⊆RR^m->RR^n$ e definisco il rapporto incrementale: $(f(vecx)-f(vecx_0))/||vecx-vecx_0||$ con ...

Perchè nella seguente funzione non c’è asintoto verticale in X=3? Ho visto su vari libri e viene detto che è una discontinuità eliminabile, che denominatore è numeratore hanno lo stesso fattore. Mi sembrano tutte risposte “operative” ma non riesco trovare un fondamento teorico. L La funzione è f(x)=(x^2-9)/(x^2-2x-3)

Perché $sum_(n=1)^infty sin((n+2)/(n^3+4))$ diverge se $sum_(n=1)^infty sin((n)/(n^3))$ converge? Cordialmente, Alex

ho provato ad eseguire i calcoli e mi trovo $ int_(0)^(oo ) e^-(ax)cos(tx) dx =t^2/(t^2a^2-1) $ invece di $ a/(a^2+t^2) $ Alla fine mi trovo anch'io. Era un semplice errore di derivazione nella esecuzione dell'integrale per parti.

Mi sono bloccato su un dubbio sempliciotto. Ho studiato la paramentrizzazione per arco-lunghezza ossia quella per cui ho lunghezza pari a quella del parametro con cui la parametrizzo, per qualunque due punti p e p'scelti sulla curva. Ossia quella con velocità unitaria. Ora, se io parametrizzo la circonferenza come $(cost,sint)$ con $t in[0,2pi)$ mi pare che calcolando la lunghezza ciò che ottengo è proprio che scelti due punti su di essa calcolando la lunghezza con la formula dell ...

Buonasera, qualcuno potrebbe spiegarmi passo passo come risolvere questa tipologia di esercizi? Calcolare il seguente integrale curvilineo $\int (2xy+3x^2) dx + (x^2+2y+3) dy$ dove γ è la poligonale OP1P2 con O=(0,0) P1=(2,0) P2=(2,3) nel verso da O a P2.

Testo esercizio: Sia f: $\mathbb{R}$ $\to$ $\mathbb{R}$ continua, dimostrare che : $\lim_{x \to \+infty}f(x) = a$ $in$ $\mathbb{R}$ $=>$ $\lim_{x \to \+infty} \int_{x}^{x+1} f(t) dt = a$ Mio Svolgimento: $\lim_{x \to \+infty}f(x) = a$ $in$ $\mathbb{R}$ $=>$ $AA$ $\epsilon$ > 0 $EE$ $M_\epsilon$ >0 t.c. x > M risulta $|f(x) - a| < \epsilon$ $|f(x) - a| < \epsilon$ $=>$ $\int_{x}^{x+1}|f(t) - a| dt < \int_{x}^{x+1} \epsilon dt$ (Questo è il passaggio dove ...

Volevo chiedere una cosa che non so come dimosrare per quanto ci stia ragionando da un po' Il professore ha detto che per le EDO (in particolare si trattavano quellea variabili separabili) valendo esistenza e unicità locale allora una data soluzione massimale non interseca la soluzione costante. Indico con $y(x)$ la soluzione Io mi figuro nella mia idea qualcosa del genere: se una soluzione non costante intersecasse quella costante in un certo punto x' succederebbe che per il ...

Ciao a tutti, Avrei un dubbio riguardante la formula di Taylor con resto di Lagrange e di Peano. In pratica nei miei appunti ho: Teorema: Sia f una funzione di classe C1(A) e siano $(x_0,y_0),(x_0+h,y_0+k)\in$A con $(h,k)\ne(0,0)$ tali che $(x_0+h,y_0+k) \in B_{r}(x_0,y_0)$, dove A è un aperto di $R^2$. Allora esiste $\theta \in (0,1)$ dipendente da $(h,k),(x_0,y_0)$ tale che: $f(x_0+h,y_0+k)=f(x_o,y_0) + \nabla f(x_0,y_0)(h,k) +1/2f_{x*x} (x_0+ \theta h, y_0 + \theta k)h^2 +1/2f_{y*y} (x_0+ \theta h, y_0 + \theta k)k^2 + f_{xy} (x_0+ \theta h, y_0 + \theta k)kh$ ed inoltre $f(x,y)=f(x_0,y_0) + \nabla f(x_0,y_0)(x-x_0,y-y_0) + 1/2(D^2f(\xi 1, \xi 2)(x-x_0,y-y_0),(x-x_0,y-y_0))$ La prima parte del teorema mi è chiara ed ho capito la dimostrazione. La seconda parte ...

Ciao ragazzi, ho svolto due esercizi riguardo i punti di non derivabilità e i massimi e minimi. Mi potreste dire se è svolto tutto correttamente e se i passaggi fatti sono corretti? Grazie 1)Studiare i punti di non derivabilità. $(|x^2-4|)/(x+1)$ Dominio $RR-{-1}$ La funzione si può scrivere anche come definita a tratti $(x^2-4)/(x+1)$ $ x<-2 vv x>=2$ $(4-x^2)/(x+1)$ $ -2<=x<-1 vv -1<x<2$ La funzione iniziale si presenta come un rapporto tra due funzioni polinomiali con al ...

$ \int_0^(1/2)\ 1/(xln^2x) dx = lim_(epsilon->0^+)\int_(0+epsilon)^(1/2) 1/(xln^2x) dx = lim_(epsilon->0^+) [-1/(lnx)]_(0+epsilon)^(1/2) = lim_(epsilon->0^+) [1/ln(2) - (-1/ln(0+epsilon))] = 1/ln(2) $$ \int_0^(1/2)\ 1/(xln^2x) dx = lim_(epsilon->0^+)\int_(0+epsilon)^(1/2) 1/(xln^2x) dx = lim_(epsilon->0^+) [-1/(lnx)]_(0+epsilon)^(1/2) = lim_(epsilon->0^+) [1/ln(2) - (-1/ln(0+epsilon))] = 1/ln(2) $Ciao a tutti, potreste dirmi, per favore, se sto svolgendo bene questi esercizi? 1) $\int_2^(+infty)\ 1/(xlnx) dx$ La funzione $f(x)$ è continua nell'intervallo $[2, +infty)$ $\int 1/(xlnx) = int 1/(lnx) * 1/x dx = int 1/u du = ln(u) = ln(lnx) + C$ con $u=ln(x)$ e $du=1/x dx$ $\int_2^(+infty)\ 1/(xlnx) dx = lim_(t->+infty) \int_2^t 1/(xlnx) = lim_(t->+infty) [ln(lnx)]_2^t = lim_(t->+infty) [ln(ln(t)) - ln(ln(2))]$ L'integrale diverge. 2) $\int_0^(1/2)\ 1/(xln^2x) dx$ $\int 1/(xln^2x) dx = int 1/ln^2z * 1/x dx = int 1/u^2 du = int u^n du = u^(n+1)/(n+1) = -1/(ln(x) +C$ Con $u = lnx$, $du = 1/x dx$ e $n= -2$ Integrale improprio di secondo tipo, per calcolare il valore ...

Ciao a tutti, scusate la banalità della domanda ma c'è un'equazione che non capisco se sono sbagliate le slide del prof o io che mi sto perdendo qualcosa. Nelle slide c'è questa equazione: $$m_t-m_t^*-p_t-p_t^*=\eta(y_t-y_t^*)+\sigma(i_t-i_t^*)$$ Poi viene scritto che bisogna risolvere per $p_t- p_t^*$ e quindi si ottiene: $$p_t-p_t^*=m_t-m_t^*-\eta(y_t-y_t^*)+\sigma(i_t-i_t^*)$$ Ma come ci si arriva? Cioè ho provato ...

Ciao a tutti! Ho dei problemi con una dimostrazione "lasciata al lettore". Dato un sistema di eq a derivate parziali del I° ordine, quasi lineare $ \sum_{i=1}^{n} A^i(ul(x),ul(u))*\frac{\partial ul(u)}{partial x_i} = B(ul(x),ul(u)) $ Questo, con una trasformazione di variabili invertibile $ { ( ul(z)=ul(Z)(ul(x)) ),( ul(w)=ul(W)(ul(x),ul(u)) ):} $ può essere scritto nella forma $ \sum_{i=1}^{n} hat(A)^i(ul(w))*\frac{\partial ul(w)}{partial z_i} = 0 $ Ovvero il sistema si scrive nuovamente in forma quasi lineare (coefficienti dipendenti dalle variabili dipendenti $ ul(w) $.) Ho usato come suggerito, la regola di derivazione delle ...

Buongiorno a tutti, ho difficoltà a svolgere un esercizio sull'integrale dei termini e del limite di una successione di funzioni. Siano $$E=\{ (x,y) \in \mathbb{R} ^2 : |x|\geq 1 , |y| \geq 1\} \cup [\text{-}1,1]^2$$ $$f_n : E \longrightarrow \mathbb{R} , \; \; f_n (x,y) = \frac{y^2 arctan(nx)}{nx^2 y^4 + 1}$$ a) Dimostrare che $E \in \mathcal{L} (\mathbb{R} ^2)$ (Ovviamente $\mathcal{L} (\mathbb{R} ^2)$ è la $\sigma$-algebra di Lebesgue) b) Dimostrare ...