Formula di Taylor con resto di Lagrange per funzioni a due variabili
Ciao a tutti,
Avrei un dubbio riguardante la formula di Taylor con resto di Lagrange e di Peano.
In pratica nei miei appunti ho:
Teorema: Sia f una funzione di classe C1(A) e siano $(x_0,y_0),(x_0+h,y_0+k)\in$A con $(h,k)\ne(0,0)$ tali che $(x_0+h,y_0+k) \in B_{r}(x_0,y_0)$, dove A è un aperto di $R^2$. Allora esiste $\theta \in (0,1)$ dipendente da $(h,k),(x_0,y_0)$ tale che:
$f(x_0+h,y_0+k)=f(x_o,y_0) + \nabla f(x_0,y_0)(h,k) +1/2f_{x*x} (x_0+ \theta h, y_0 + \theta k)h^2 +1/2f_{y*y} (x_0+ \theta h, y_0 + \theta k)k^2 + f_{xy} (x_0+ \theta h, y_0 + \theta k)kh$
ed inoltre
$f(x,y)=f(x_0,y_0) + \nabla f(x_0,y_0)(x-x_0,y-y_0) + 1/2(D^2f(\xi 1, \xi 2)(x-x_0,y-y_0),(x-x_0,y-y_0))$
La prima parte del teorema mi è chiara ed ho capito la dimostrazione. La seconda parte non molto.
Siccome il professore ha lasciato da fare da soli la seconda parte mi chiedevo se la mia interpretazione fosse giusta:
introdotto $x=x_0+h, y=y_0+k$ dove si ricava appunto che $h=x-x_0$ e $k=y-y_0$, essendo la prima formula valida sostituisco in essa ciò che ho ricavato ottenendo in pratica
$ f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0,y_0) + \nabla f(x_0,y_0)(x-x_0,y-y_0) +1/2f_{x*x} (x_0+ \theta (x-x_0), y_0 + \theta (y-y_0))(x-x_0)^2 +1/2f_{y*y} (x_0+ \theta (x-x_0), y_0 + \theta (y-y_0))(y-y_0)^2 + f_{xy} (x_0+ \theta (x-x_0), y_0 + \theta (y-y_0))(y-y_0)(x-x_0) $
Perciò se $D^2$ è la matrice Hessiana del secondo ordine, e se $ \xi 1=x_0+ \theta h, \xi 2=y_0 + \theta k$ allora in teoria otterrei che, poiché f è di classe C1(A) e vale il teorema di Schwarz:
$f(x_0+h,y_0+k) = f(x,y) =f(x_0,y_0) + \nabla f(x_0,y_0)(x-x_0,y-y_0) +1/2((D^2(\xi 1, \xi 2)(x-x_0,y-y_0),(x-x_0,y-y_0))$
Secondo voi ha senso come dimostrazione della formula?
Avrei un dubbio riguardante la formula di Taylor con resto di Lagrange e di Peano.
In pratica nei miei appunti ho:
Teorema: Sia f una funzione di classe C1(A) e siano $(x_0,y_0),(x_0+h,y_0+k)\in$A con $(h,k)\ne(0,0)$ tali che $(x_0+h,y_0+k) \in B_{r}(x_0,y_0)$, dove A è un aperto di $R^2$. Allora esiste $\theta \in (0,1)$ dipendente da $(h,k),(x_0,y_0)$ tale che:
$f(x_0+h,y_0+k)=f(x_o,y_0) + \nabla f(x_0,y_0)(h,k) +1/2f_{x*x} (x_0+ \theta h, y_0 + \theta k)h^2 +1/2f_{y*y} (x_0+ \theta h, y_0 + \theta k)k^2 + f_{xy} (x_0+ \theta h, y_0 + \theta k)kh$
ed inoltre
$f(x,y)=f(x_0,y_0) + \nabla f(x_0,y_0)(x-x_0,y-y_0) + 1/2(D^2f(\xi 1, \xi 2)(x-x_0,y-y_0),(x-x_0,y-y_0))$
La prima parte del teorema mi è chiara ed ho capito la dimostrazione. La seconda parte non molto.
Siccome il professore ha lasciato da fare da soli la seconda parte mi chiedevo se la mia interpretazione fosse giusta:
introdotto $x=x_0+h, y=y_0+k$ dove si ricava appunto che $h=x-x_0$ e $k=y-y_0$, essendo la prima formula valida sostituisco in essa ciò che ho ricavato ottenendo in pratica
$ f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0,y_0) + \nabla f(x_0,y_0)(x-x_0,y-y_0) +1/2f_{x*x} (x_0+ \theta (x-x_0), y_0 + \theta (y-y_0))(x-x_0)^2 +1/2f_{y*y} (x_0+ \theta (x-x_0), y_0 + \theta (y-y_0))(y-y_0)^2 + f_{xy} (x_0+ \theta (x-x_0), y_0 + \theta (y-y_0))(y-y_0)(x-x_0) $
Perciò se $D^2$ è la matrice Hessiana del secondo ordine, e se $ \xi 1=x_0+ \theta h, \xi 2=y_0 + \theta k$ allora in teoria otterrei che, poiché f è di classe C1(A) e vale il teorema di Schwarz:
$f(x_0+h,y_0+k) = f(x,y) =f(x_0,y_0) + \nabla f(x_0,y_0)(x-x_0,y-y_0) +1/2((D^2(\xi 1, \xi 2)(x-x_0,y-y_0),(x-x_0,y-y_0))$
Secondo voi ha senso come dimostrazione della formula?
Risposte
Sicuramente, ti serve almeno $f \in C^2(A)$, altrimenti non ha senso parlare di derivate seconde, né potresti applicare il teorema di Schwarz
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