Alcoli

[Superbgino]

ho provato ad eseguire i calcoli e mi trovo
$ int_(0)^(oo ) e^-(ax)cos(tx) dx =t^2/(t^2a^2-1) $
invece di $ a/(a^2+t^2) $
Alla fine mi trovo anch'io. Era un semplice errore di derivazione nella esecuzione dell'integrale per parti.

[gugo82]

Con metodi di Analisi Complessa, usualmente... Ma ci sono anche altri trucchi.

Esempio di altro trucco:

Poniamo $F(t) := int_0^{+oo} e^{-t x} (sin lambda x)/(pi x)\ "d" x$, che è una funzione ben definita e continua in $[0,+oo[$; con un po' di pazienza (e tecniche un po' delicate), si fa vedere che $lim_(t -> +oo) F(t) = 0$ e che $F$ è anche derivabile in $]0,+oo[$ e che la sua derivata è:

$F'(t) = int_0^{+oo} -x e^{-t x} (sin lambda x)/(pi x)\ "d" x = -1/pi\ \int_0^{+oo} e^{-t x}sin lambda x\ "d" x$.

L'integrale all'ultimo membro si calcola per parti (è ciclico) e, per $t > 0$, porge:

$F'(t) = 1/pi [e^(-t x) (t sin lambda x + lambda cos lambda x)/(lambda^2 + t^2) ]_0^{+oo} = -1/pi lambda/(lambda^2 + t^2)$.

Ne viene che per $t > 0$ risulta:

$- F(t) = int_t^{+oo} F'(tau)\ "d" tau = -1/pi [ arctan (tau/lambda) ]_t^{+oo} = 1/pi arctan (t/lambda)
- 1/2$

ossia:

$F(t) = 1/2 - 1/pi arctan(t/lambda)$,

da cui:

$int_0^{+oo} (sin lambda x)/(pi x)\ "d" x = F(0) = 1/2$.

Perché ti interessa?

[pilloeffe]

Ciao Superbgino,

L'integrale proposto è già stato considerato tempo fa e già nel 1909, cioè 115 anni fa, G.H. Hardy scrisse due articoli con circa una dozzina di modi differenti di dimostrarlo:
http://www.math.harvard.edu/~ctm/home/text/class/harvard/55b/10/html/home/hardy/sinx/sinx.pdf
Potresti dare un'occhiata ad esempio a questo thread, oppure a questo esercizio proposto da dan95 mercoledì 14 giugno 2017 ed infine scegliere il metodo che preferisci fra tutti quelli proposti qui.

[Superbgino]

ho letto gli appunti consigliati ed ho provato ad eseguire i calcoli ma non mi trovo.
secondo i miei calcoli risulta:
$ int_(0)^oo (e^(-ax)*cos(tx)) dx=(t^2a)/(t^2a^2-1) $
Dov'è l'errore?

[Superbgino]

"gugo82":Con metodi di Analisi Complessa, usualmente... Ma ci sono anche altri trucchi.

Esempio di altro trucco:

Poniamo $F(t) := int_0^{+oo} e^{-t x} (sin lambda x)/(pi x)\ "d" x$, che è una funzione ben definita e continua in $[0,+oo[$; con un po' di pazienza (e tecniche un po' delicate), si fa vedere che $lim_(t -> +oo) F(t) = 0$ e che $F$ è anche derivabile in $]0,+oo[$ e che la sua derivata è:

$F'(t) = int_0^{+oo} -x e^{-t x} (sin lambda x)/(pi x)\ "d" x = -1/pi\ \int_0^{+oo} e^{-t x}sin lambda x\ "d" x$.

L'integrale all'ultimo membro si calcola per parti (è ciclico) e, per $t > 0$, porge:

$F'(t) = 1/pi [e^(-t x) (t sin lambda x + lambda cos lambda x)/(lambda^2 + t^2) ]_0^{+oo} = -1/pi lambda/(lambda^2 + t^2)$.

Ne viene che per $t > 0$ risulta:

$- F(t) = int_t^{+oo} F'(tau)\ "d" tau = -1/pi [ arctan (tau/lambda) ]_t^{+oo} = 1/pi arctan (t/lambda)
- 1/2$

ossia:

$F(t) = 1/2 - 1/pi arctan(t/lambda)$,

da cui:

$int_0^{+oo} (sin lambda x)/(pi x)\ "d" x = F(0) = 1/2$.

Perché ti interessa?

Mi interessa perchè questo integrale compare in una dimostrazione della trasformata inversa di Fourier.

[pilloeffe]

Ciao Superbgino,

Hai fatto una cosa piuttosto grave, che non si dovrebbe mai fare: cambiare la domanda nell'OP dopo che in diversi si erano impegnati a risponderti, in particolare gugo82.
Ti ricordo che l'integrale che compariva nell'OP che hai modificato era il seguente:

$\int_0^{+\infty} (sin(\lambda x))/(\pi x)\text{d}x = 1/2 $

Se cambi l'integrale nell'OP è chiaro che si vanificano tutte le risposte che ti sono state date, rendendo oltretutto poco comprensibile il thread da parte degli altri fruitori del forum. In questi casi, invece di modificare l'OP, occorre aprire un nuovo post col nuovo integrale. Per inciso, per il nuovo integrale, anch'esso ben noto e già visto tempo fa, puoi dare un'occhiata ad esempio qui.