Perché non esiste la derivata vettoriale?
Ciao, volevo chiarire una cosa che mi lascia dubbioso e temo di non aver afferrato appieno.
Nello studio dell'analisi in più variabili mi è stata definita: differenzaibilità, derivata direzionale, parziale, limiti ecc.
Però non capisco perché non mi sia stata definita (se esiste o meno) e se il concetto avesse un legame col resto di quanto sto studiando di un qualcosa del genere:
io prendo una $F:A⊆RR^m->RR^n$
e definisco il rapporto incrementale: $(f(vecx)-f(vecx_0))/||vecx-vecx_0||$ con $vecx$ intendo vettore visto anche solo come punto in $R^m$, quindi la m-upla.
Ora, posso definire il limite $vecx->vec0$ e dire è la "derivata della funzione F"
(Ovviamente il dubbo è anche per $F:A⊆RR->RR^n$ ma era solo per esser piu generici)
Domanda: ma questo concetto che ho introdotto che legame ha con i concetti sopra? e poi perché non è questa la derivata di una funzione vettoriale?
non capisco
Nello studio dell'analisi in più variabili mi è stata definita: differenzaibilità, derivata direzionale, parziale, limiti ecc.
Però non capisco perché non mi sia stata definita (se esiste o meno) e se il concetto avesse un legame col resto di quanto sto studiando di un qualcosa del genere:
io prendo una $F:A⊆RR^m->RR^n$
e definisco il rapporto incrementale: $(f(vecx)-f(vecx_0))/||vecx-vecx_0||$ con $vecx$ intendo vettore visto anche solo come punto in $R^m$, quindi la m-upla.
Ora, posso definire il limite $vecx->vec0$ e dire è la "derivata della funzione F"
(Ovviamente il dubbo è anche per $F:A⊆RR->RR^n$ ma era solo per esser piu generici)
Domanda: ma questo concetto che ho introdotto che legame ha con i concetti sopra? e poi perché non è questa la derivata di una funzione vettoriale?
non capisco
Risposte
Ho letto, non lo sapevo.
Non ho però capito una cosa, io ho in mano le definizioni di derivate parziali, derivate dierezionali e ho il cocetto di matrice jacobiana.
Ma non ho capito come mostrare che dovrebbe discendere dal limite per zero di questa roba $(f(vecx)-f(vecx_0))/||vecx-vecx_0||$
Cioè quello che voglio dire è che mentre in 1-D ho definizione id derivata come limite del rapporto incrementale, perché in 2-D e più no?
Non ho però capito una cosa, io ho in mano le definizioni di derivate parziali, derivate dierezionali e ho il cocetto di matrice jacobiana.
Ma non ho capito come mostrare che dovrebbe discendere dal limite per zero di questa roba $(f(vecx)-f(vecx_0))/||vecx-vecx_0||$
Cioè quello che voglio dire è che mentre in 1-D ho definizione id derivata come limite del rapporto incrementale, perché in 2-D e più no?
Limitandoci a funzioni a valori in $\mathbb{R}$, che differenza ci vedi con la derivata direzionale? A me sembrano la stessa cosa.
Prova a riscrivere la tua formula usando, come nella derivata direzionale, una direzione, cioè un vettore di modulo unitario $v=(v_1,..., v_n)$.
Cioè ponendo $x=x_0+v\cdot h$, vettore di componenti $x_i= x_i^0+v_i\cdoth$.
Lo scrivo per due variabili, cioè per una funzione $f: A\subseteq mathbb{R} \rightarrow mathbb{R}^2$, viene:
$$\frac {f(x)-f(x_0)}{||x-x_0||}= \frac {f(x_1^0+v_1h, x_2^0+v_2h)- f(x_1^0, x_2^0)}{h},$$
cioè il rapporto incrementale nella definizione di derivata direzionale.
Nota che il modulo del vettore al denominatore è proprio $h$:
$$||x-x_0||=||v_1h, v_2h||= \sqrt{(v_1h)^2,+(v_2h)^2}=\sqrt{h^2[(v_1)^2+(v_2)^2]} =h\cdot||v||=h$$
($h>0$).
Prova a riscrivere la tua formula usando, come nella derivata direzionale, una direzione, cioè un vettore di modulo unitario $v=(v_1,..., v_n)$.
Cioè ponendo $x=x_0+v\cdot h$, vettore di componenti $x_i= x_i^0+v_i\cdoth$.
Lo scrivo per due variabili, cioè per una funzione $f: A\subseteq mathbb{R} \rightarrow mathbb{R}^2$, viene:
$$\frac {f(x)-f(x_0)}{||x-x_0||}= \frac {f(x_1^0+v_1h, x_2^0+v_2h)- f(x_1^0, x_2^0)}{h},$$
cioè il rapporto incrementale nella definizione di derivata direzionale.
Nota che il modulo del vettore al denominatore è proprio $h$:
$$||x-x_0||=||v_1h, v_2h||= \sqrt{(v_1h)^2,+(v_2h)^2}=\sqrt{h^2[(v_1)^2+(v_2)^2]} =h\cdot||v||=h$$
($h>0$).
"Tycho Bracket":
Ho letto, non lo sapevo.
Non ho però capito una cosa, io ho in mano le definizioni di derivate parziali, derivate dierezionali e ho il cocetto di matrice jacobiana.
Ma non ho capito come mostrare che dovrebbe discendere dal limite per zero di questa roba $(f(vecx)-f(vecx_0))/||vecx-vecx_0||$
Cioè quello che voglio dire è che mentre in 1-D ho definizione id derivata come limite del rapporto incrementale, perché in 2-D e più no?
Perché 1) quello che scrivi non è un rapporto incrementale sensato e 2) perché non ha senso parlare di rapporti tra vettori.
Grazie a voi!
Allora, ho capito gabriella127 ma ammetto che non ho capito gugo82 . perché dici insensato? Non ci arrivo.
Allora, ho capito gabriella127 ma ammetto che non ho capito gugo82
. perché dici insensato? Non ci arrivo.
Ho visto che si è aggiunto un punto 2) mentre scrivevo e ho mandato... aggiungo un PS:
su 1) rimane la domanda perché insensato?
2)
perché dici rapporto tra vettori, a denominatore ho una norma, non è un numero?
grazie.
su 1) rimane la domanda perché insensato?
2)
"gugo82":
2) perché non ha senso parlare di rapporti tra vettori.
perché dici rapporto tra vettori, a denominatore ho una norma, non è un numero?
grazie.
Per una funzione a valori vettoriali, quello che tu dici, se l'ho ben capito, esiste, sarebbe il vettore delle derivate direzionali, lungo una direzione $v$, delle singole componenti della funzione a valori vettoriali.
Guarda qui a pag. 70
http://www.mat.unimi.it/users/mauras/ap ... 4/sez5.pdf
Per semplicità ti riporto la foto di un pezzo
Guarda qui a pag. 70
http://www.mat.unimi.it/users/mauras/ap ... 4/sez5.pdf
Per semplicità ti riporto la foto di un pezzo
"Tycho Bracket":
Ho visto che si è aggiunto un punto 2) mentre scrivevo e ho mandato... aggiungo un PS:
su 1) rimane la domanda perché insensato?
Perché già per $n=1=m$ non ti restituisce la usuale definizione di derivata.
"Tycho Bracket":
2)
[quote="gugo82"] 2) perché non ha senso parlare di rapporti tra vettori.
perché dici rapporto tra vettori, a denominatore ho una norma, non è un numero?[/quote]
Il senso del rapporto incrementale è quello di dividere tra loro elementi di una stessa classe di oggetti (numeri reali, ad esempio), non di robe diverse.
In questo caso, dovresti dividere un vettore per un altro, cosa che -però- non ha alcun senso.
@gabriella: certo quello che dici è chiaro ed è una "mera" generalizzazione, grazie per la lettura ma rafforza quanto già avevo capito.
@gugo82: già è vero, ero cosi pregno del concetto di differenziale che ci ho sparato senza ragionare la norma sotto. Ma non era coerente già con il concetto 1Ddi "rapporto incrementale" che andavo cercando per definire così una pseudo "derivata".
Direi che mi è chiaro grazie mille a voi.
@gugo82: già è vero, ero cosi pregno del concetto di differenziale che ci ho sparato senza ragionare la norma sotto. Ma non era coerente già con il concetto 1Ddi "rapporto incrementale" che andavo cercando per definire così una pseudo "derivata".
Direi che mi è chiaro grazie mille a voi.
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