Coordinate sferiche

[Me0001]

Buon pomeriggio a tutti, ho delle difficoltà a capire sue passaggi di un esercizio.
Ho la trasformazione di coordinate:
\begin{equation}

\vec{x} = \begin{pmatrix} sin\alpha cos\phi \\ sin\alpha sin\phi \\ 1- cos\alpha \end{pmatrix}
\end{equation}

Derivata prima:
\begin{equation}
\dot{x} = \begin{pmatrix} \dot{r}sin\theta cos\phi + r\dot{\theta}cos\theta cos\phi - r \dot{\phi} sin\theta sin\phi \\ \dot{r}sin\theta sin\phi + r\dot{\theta}cos\theta sin\phi - r \dot{\phi} sin\theta cos\phi \\ \dot{r} cos\theta - r\dot{\theta}sin\theta \end{pmatrix}
\end{equation}

Quadrato della derivata prima:
\begin{equation}
\dot{x^2} = \dot{r^2}+ r^2 \dot{\theta^2}+ r^2 \dot{\phi^2}sin^2\theta
\end{equation}

Non capisco come siano state fatte le derivate e il loro quadrato, qualcuno riuscirebbe a illustrarmi i passaggi intermedi?

Grazie e scusate per il disturbo

[Lebesgue]

ciao! Guarda, penso ci siano proprio dei problemi sin dall'inizio.
1) all'inizio hai $\alpha$ e $\phi$, e poi nella derivata diventano $\theta $ e $\phi$
2) nella derivata hai un raggio $r$ che nella trasformazione non c'è, da dove appare?
3) Per scrivere seno e coseno, utilizza \sin e \cos

In ogni caso, penso che i due angoli (diciamo $\theta$ e $\phi$) e il raggio $r$ sono funzioni che dipendono dal tempo, ovvero hai $\theta(t), \phi(t), r(t)$ e tu vuoi calcolare la derivata del vettore $x$ rispetto al tempo e la derivata di un vettore si fa derivando singolarmente le varie coordinate.

Ad esempio, se voglio derivare $r \sin \theta$ rispetto il tempo, ricordando che ho $r(t)$ e $\theta(t)$, si ha che la derivata sarà

$\dot r \sin \theta + r \dot \theta \cos \theta$

Dove il punto indica la derivazione rispetto il tempo e ho usato sia la derivata del prodotto, sia la regola di derivazione delle funzioni composte

[gugo82]

Inoltre, anche se la notazione fa abbastanza schifo, $dot(x)^2$ è il prodotto scalare di $dot(x)$ per se stesso, ossia il quadrato di $|dot(x)|$.

[pilloeffe]

Ciao Rosa333,

Secondo me in realtà è

\begin{equation*}
{\mathbf x} = \begin{pmatrix}
r \sin\theta \cos\phi \\
r \sin\theta \sin\phi \\
r \cos\theta
\end{pmatrix}
\end{equation*}

da cui

\begin{equation*}
\mathbf {\dot{x}} = \begin{pmatrix}
\dot{r} \sin\theta \cos\phi + r \dot{\theta}\cos\theta \cos\phi - r \dot{\phi} \sin\theta \sin\phi \\
\dot{r} \sin\theta \sin\phi + r\dot{\theta}\cos\theta \sin\phi + r \dot{\phi} \sin\theta \cos\phi \\
\dot{r} \cos\theta - r\dot{\theta}\sin\theta
\end{pmatrix}
\end{equation*}

Poi salvo errori i calcoli mi sembrano corretti, anche se estremamente noiosi:

$\dot{x}^2 = \mathbf {\dot{x}} \cdot \mathbf {\dot{x}} = (\dot{r} sin\theta cos\phi + r \dot{\theta}cos\theta \cos\phi - r \dot{\phi} sin\theta sin\phi)^2 + $
$ + (\dot{r} sin\theta sin\phi + r\dot{\theta}cos\theta sin\phi + r \dot{\phi} sin\theta cos\phi)^2 + $
$ + (\dot{r} cos\theta - r\dot{\theta} sin\theta)^2 = $

$ = \dot{r}^2 sin^2\theta cos^2\phi + r^2 \dot{\theta}^2 cos^2 \theta cos^2\phi + r^2 \dot{\phi}^2 sin^2 \theta sin^2\phi + 2r\dot{r}\dot{\theta} sin\theta cos\theta cos^2\phi - 2r\dot{r}\dot{\phi} sin\phi cos\phi sin^2\theta - 2 r^2 \dot{\theta}\dot{\phi} sin\theta cos\theta sin\phi cos\phi + $
$ + \dot{r}^2 sin^2\theta sin^2\phi + r^2 \dot{\theta}^2 cos^2 \theta sin^2\phi + r^2 \dot{\phi}^2 sin^2 \theta cos^2\phi + 2r\dot{r}\dot{\theta} sin\theta cos\theta sin^2\phi + $
$ + 2r\dot{r}\dot{\phi} sin\phi cos\phi sin^2\theta + 2 r^2 \dot{\theta}\dot{\phi} sin\theta cos\theta sin\phi cos\phi + $
$ + \dot{r}^2 cos^2\theta - 2 r \dot{r} \dot{\theta} sin\theta cos\theta + r^2 \dot{\theta}^2 sin^2 \theta = $

$ = \dot{r}^2 sin^2\theta + r^2 \dot{\theta}^2 cos^2 \theta + r^2 \dot{\phi}^2 sin^2 \theta + 2r\dot{r}\dot{\theta} sin\theta cos\theta + $
$ + \dot{r}^2 cos^2\theta - 2 r \dot{r} \dot{\theta} sin\theta cos\theta + r^2 \dot{\theta}^2 sin^2 \theta = $

$ = \dot{r}^2+ r^2 \dot{\theta}^2 + r^2 \dot{\phi}^2 \sin^2\theta $

[Me0001]

Grazie a tutti per l'aiuto!
Il problema corretto è quello illustrato da pilloeffe, avevo in effetti anche sbagliato a trascriverlo .
Ora comunque è tutto più chiaro, grazie ancora.